Triangle de Tartaglia

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.^[1]

Cada nombre del triangle és la suma de les dues xifres superiors.

Mètode de construcció

Es comença amb un 1.

 1

Després s'escriuen dos 1 a sota.

 1
 1 1

A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.^[2]

 1
 1 1
 1 2 1
 1 3 3 1
 1 4 6 4 1
 1 5 10 10 5 1
 1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
 1 8 28 56 70 56 28 8 1
 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Propietats

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

• En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dona una potència de 2: ${\displaystyle 1,2,4,8,16,32,64,\ldots }$. Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:^[3]

${\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}={n \choose 0}1^{n}+{n \choose 1}1^{n-1}\cdot 1+{n \choose 2}1^{n-2}\cdot 1^{2}+\ldots +{n \choose n-1}1\cdot 1^{n-1}+{n \choose n}1^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose n}}$

• En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dona la relació següent:

${\displaystyle {(a+b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{i}a^{n-k}b^{k}=(a+b)^{n}=}$ ${\displaystyle =c_{0}\cdot a^{n}+c_{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+c_{2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+\ldots +c_{n-2}\cdot a^{2}\cdot b^{n-2}+c_{n-1}\cdot a\cdot b^{n-1}+b^{n}}$

El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},...,c_{n}\ }$. En el triangle, podem buscar el coeficient binomial ${\displaystyle c_{i}={n \choose i}}$ del desenvolupament de ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ de la manera següent:

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient ${\displaystyle c_{i}}$ és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\ }$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\ }$

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\ }$

${\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\ }$

Triangle de Pascal amb una alçada de 512. Al pintar els nombres segons si són senars (blau) o parells (groc), apareix el triangle de Sierpinski.

• Les fileres de cada triangle no són simètriques, ja que: ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={n \choose n-k}}$

• Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski.

• Diagonals:
  • Les diagonals externes són sempre uns.^[4]
  • Els nombres de la sèrie de Fibonacci es troben al sumar els elements de les diagonals formades de pujar d'una fila a l'anterior una posició.^[5]
  • Una diagonal més interior dona els nombres naturals (1,2,3,4,5...).
  • La següent diagonal més interior (1,3,6,10...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles.^[6] Si es suma cadascun d'aquests nombres amb l'anterior s'obtenen els nombres quadrats.
  • La quarta diagonal correspon als nombres tetraèdrics (s'hi poden construir tetràedres).^[3][7]
  • A la cinquena diagonal, hi ha els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops.
• La conjectura de Singmaster postula que el nombre de vegades que apareix cada nombre major que 1 és finit. El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix fins a vuit vegades al triangle.

Història

L'any 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular.^[8] Blaise Pascal la va redescobrir uns segles després.^[4][9][10]

Bibliografia

• Paulos, John Allen. Más allá de los números: meditaciones de un matemático. 1. ed.. Barcelona: Tusquets, 1993. ISBN 84-7223-687-0.
• Weisstein, Eric W. Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 1999, p. 636. ISBN 0-8493-9640-9.
• Beyer, William H. Standard Mathematical Tables and Formulae. 29a ed. CRC Press, p. 279. ISBN 0-8493-0629-9.

Referències

1. Pascal's Triangle. MathWorld (anglès)
2. «Leibniz and Pascal Triangles». [Consulta: 17 febrer 2022].
3. Paulos, 1993, p. 287.
4. Paulos, 1993, p. 284.
5. «All You Ever Wanted to Know About Pascal's Triangle and more». [Consulta: 20 febrer 2022].
6. Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 272. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «Las hileras diagonales, paralelas a los lados de la figura, dan los números triangulares y sus equivalentes en espacios de cualquier número de dimensiones.»
7. Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 273. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «La tercera diagonal contiene los números tetraédricos: cardinales de conjuntos de puntos que forman disposiciones tetraédricas en el espacio tridimensional.»
8. Katz, V. J.. «Binomial Theorem and the Pascal Triangle». A: A History Of Mathematics: An Introduction. UniSA, 1992.
9. Fox, Peter. Cambridge University Library: The great collections, 1998, p. 13. ISBN 978-0-521-62647-7.
10. Maor, Eli. The Story of a Number. 1994: Princeton University Press, p. 71. ISBN 0-691-05854-7.

Vegeu també

• Francis Galton
• Quincunx
• Piràmide de Pascal