Superfície reglada
superfície per cada punt de la qual hi passa una recta continguda a la superfície From Wikipedia, the free encyclopedia
superfície per cada punt de la qual hi passa una recta continguda a la superfície From Wikipedia, the free encyclopedia
En geometria, una superfície reglada és una superfície engendrada per una família infinita de rectes que depenen d'un paràmetre.[1] És la superfície generada per una recta –anomenada generatriu–, que es desplaça sobre una o diverses corbes –anomenades directrius–. En funció de les característiques i condicions particulars d'aquests elements, rep diversos noms.
Cadascuna d'aquestes rectes és anomenada generatriu de la superfície. Els procediments habituals per a definir-les són, o bé donar les equacions d'una recta en l'espai amb un paràmetre variable, o bé donar tres corbes directrius i prendre com a generatrius les rectes que es recolzen sobre aquestes tres corbes.[1]
A grans trets hi ha dues classes de superfícies reglades:[1]
En detall, les superfícies reglades són:
Una superfície és reglada si per cada punt d'aquesta hi ha una línia recta continguda en . Una superfície reglada pot ser sempre descrita (almenys localment) per una equació paramètrica de la següent manera:
on és una corba en , i és una corba en l'esfera unitat. Així, per exemple:
obtenim una superfície que conté la Cinta de Möbius. Alternativament, una superfície reglada pot ser modelada paramètricament com:
On i són dues corbes de que no s'intersequen. Per exemple, quan i es mouen amb velocitat constant al llarg de dues rectes guerxes, la superfície és un paraboloide hiperbòlic, o part d'un hiperboloide d'una sola fulla.
Un cas especial de la superfícies reglades són les superfícies desenvolupables que, mitjançant deformacions que no alterin les distàncies entre els seus punts, poden ser transformades en un fragment pla. Tècnicament hi ha una isometria entre aquestes superfícies i un fragment del pla. Si hi ha isometries locals diem que és localment desenvolupable; per aconseguir això és necessari i suficient que la curvatura gaussiana sigui nul·la.
El con, el cilindre i el mateix pla són desenvolupables, mentre que el hiperboloide no ho és. Perquè una superfície sigui desenvolupable, és condició necessària i suficient que pugui ser construïda amb un tros de paper sense arrugar. Així, una superfície construïda plegant un tros rectangular de paper serà desenvolupable com una banda de Möbius o un cilindre. Una condició necessària, tal com es desprèn del Theorem egregium de Gauss, és que la curvatura gaussiana de la superfície reglada sigui idènticament nul·la.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.