From Wikipedia, the free encyclopedia
Una representació decimal d'un nombre real no negatiu r és una expressió en forma d'una sèrie, que tradicionalment s'escriu com la suma
on a0 és un enter no negatiu, i a1, a₂, … són enters que satisfan 0 ≤ ai ≤ 9, que hom anomena els dígits de la representació decimal. La successió de dígits pot ser finita, i en aquest cas els dígits posteriors ai són 0. Alguns autors estan en contra de les representacions decimals amb una seqüència infinita de 9.[1] Tot i aquesta restricció, encara existeix una representació decimal per a cada real no negatiu, i addicionalment fa que aquesta representació sigui única. El nombre que es defineix per una representació decimal s'acostuma a escriure:
És a dir, a0 és la part entera de r, no necessàriament entre 0 i 9, i a1, a₂, a₃, … són els dígits que configuren la part fraccionària de r.
Totes dues notacions són, per definició, el següent límit:
Tot nombre real es pot aproximar, amb un grau arbitrari de precisió, per nombres racionals amb representacions decimals finites.
Suposem que . Llavors, per qualsevol enter existeix un decimal finit tal que:
Demostració |
---|
Sigui , on .[nota 1] Llavors , i el resultat s'obté dividint les desigualtats per . (El fet que té una representació decimal finita és fàcil de comprovar.) |
Alguns nombres reals tenen dues representacions decimals infinites. Per exemple, el nombre 1 es pot representar tant 1,000... com 0,999... (aquí, hem representat les seqüències infinites de 0 i de 9 per "...").
L'expansió decimal d'un nombre real no negatiu x finalitza smb zeros (o amb nous) si i només si x és un nombre racional amb denominador de la forma 2n5m, on m i n són enters no negatius.
Demostració |
---|
Si l'expansió decimal de x finalitza amb zeros, o per algun n, llavors el denominador de x és de la forma 10n = 2n5n.
Recíprocament, si el denominador de x és de la forma 2n5m, llavors per a algun p. Com que x és de la forma , llavors per algun n. Finalment, com que , x finalitza amb zeros. |
Alguns nombres reals tenen representacions decimals on alguns (un o més) dígits es repeteixen:
Quan succeeix això, el nombre és un racional, és a dir, es pot representar pel quocient entre un enter i un enter positiu.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.