From Wikipedia, the free encyclopedia
Els nombres decimals periòdics són aquells nombres en els quals la seva part decimal és inexacta i infinita, l'últim nombre no s'acaba mai.[1][2] Els nombres decimals periòdics es representen afegint al període el símbol periòdic (). Amb els nombres decimals periòdics resulta impossible calcular operacions matemàtiques exactes, per tant s'ha de transformar el nombre en una fracció per després calcular-ne el resultat.
El nombre periòdic és un nombre racional caracteritzat per tenir un període (xifres que es repeteixen indefinidament) en la seva representació decimal. Aquest període pot ser un únic número, com en 1/3 = 0. 3 333 ..., o una sèrie de números, com a 1/7 = 0. 142857 142857 .... El període es pot expressar escrivint un arc sobre la xifra o conjunt de xifres en repetició, per exemple , amb més d'una xifra i amb un període no immediat després de la coma
Per fer una fracció igual a un nombre periòdic (fracció generatriu), primer cal diferenciar entre dos tipus:[3][4]
Posem la xifra sense x en el numerador i la xifra amb x en el denominador, de manera que ens quedaria com fracció generatriu:
.
, primer multipliquem per 10 (), a continuació multipliquem el període per 100 (). I repetim el mateix procés que amb l'exemple anterior, però amb una modificació, per a trobar el minuend de la "resta", multipliquem les 2 xifres seguides de zero (en aquest cas, 100 i 10) i després al resultat, li restem l' més petit (10). Pel que quedaria així:
Igual que abans, posem la xifra sense x en el numerador i la xifra amb x en el denominador. Per tant, ens quedaria com fracció generatriu:
* Si en descompondre el denominador en factors aquests són només el 2 i/o el 5, serà exacta: Per exemple 7/20, com 20 = 2 * 2 * 5, serà exacta, en efecte és 7/20 = 0,35 Per exemple 7/25, com 25 = 5 * 5, serà exacta, en efecte és 7/25 = 0,28 * Si en descompondre el denominador en factors aquests no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura: Per exemple 5/21, com 21 = 3 * 7, serà periòdica pura, en efecte és 5/21 = 0,238095 238095 238095 .... * Si en descompondre el denominador en factors aquests contenen al 2 i/o al 5, i a més algun altre factor, serà periòdica mixta: Per exemple 5/42, com 42 = 2 * 3 * 7, serà periòdica mixta, en efecte és 5/42 = 0,1 190476 190476 190476 ....
Primer de tot definim dos conceptes:
Així, per obtenir el nombre 0,123123123... farem la següent operació:
En l'exemple anterior seria:
Igual que un decimal recurrent, és un decimal en el que un dígit o un grup de dígits es repeteix infinites vegades. Qualsevol decimal periòdic es pot expressar sempre en la forma d'una fracció. Per tant, un decimal periòdic és un nombre racional.