Llista de políedres uniformes

En geometria, un políedre uniforme és un políedre que té polígons regulars com a cares i és vèrtex-transitiu (transitiu en els seus vèrtexs, isogonal, és a dir, hi ha una isometria que és una aplicació d'un vèrtex sobre qualsevol altre). D'aquí segueix que tots els vèrtexs són congruents, i el políedre té un elevat grau de simetria de reflexió i rotacional.

Els políedres uniformes es poden dividir en formes convexes amb cares de polígons regulars convexos i formes estelades. Les formes estelades tenen o bé cares de polígons estelats o figures de vèrtexs, o ambdós.

La següent llista inclou:

• Els 75 políedres uniformes no prismàtics
• Alguns representants dels conjunts infinits de prismes i antiprismes
• Un políedre degenerat, la figura de Skilling amb arestes sobreposades

El 1970 es provà que només existeixen 75 políedres uniformes a part de les famílies infinites de prismes i antiprismes. John Skilling descobrí un exemple degenerat que havia passat per alt, relaxant les condicions que només dues cares es poden trobar en una aresta. Aquest és un políedre uniforme degenerat més que no pas un políedre uniforme, ja que alguns parells d'arestes coincideixen.

La llista no inclou:

• 40 políedres uniformes amb figures de vèrtexs degenerades que tenen arestes sobreposades (no comptats per Coxeter)
• Les tessel·lacions uniformes (políedres infinits)
• 11 tessel·lacions euclidianes uniformes amb cares convexes
• 14 tessel·lacions euclidianes uniformes amb cares no convexes
• Nombre infinit de tessel·lacions uniformes al pla hiperbòlic

Indexació

Quatre sistemes de numeració són d'ús comú pels políedres uniformes, distingits per lletres:

• [C] Coxeter et al., 1954, mostrà les formes convexes (figures 15 a 132); tres formes prismàtiques (33-35); i les formes no convexes (36-92).
• [W] Wenninger, 1974, té 119 figures: 1-5 pels sòlids platònics, 6-18 pels sòlids arquimedians, 19-66 per les formes estelades incloent-hi els 4 políedres regulars no convexos, i 67-119 pels políedres uniformes no convexos.
• [K] Kaleido, 1993: les 80 figures estaven agrupades per simetria: 1-5 com a representants de les famílies infinites de formes prismàtiques amb simetria dièdrica, 6-9 amb simetria tetraèdrica,10-26 amb simetria octaèdrica, 46-80 amb simetria icosaèdrica.
• [U] Mathematica, 1993, segueix la sèrie Kaleido amb les 5 formes prismàtiques mogudes al final, de tal manera que les formes no prismàtiques esdevenen 1-75.

Llista de políedres

Les formes convexes són llistades per ordre de grau de configuració de vèrtexs des de 3 cares/vèrtex en amunt, i en costats incrementant per cara. Aquesta ordenació permet que es vegin les similituds topològiques.

Políedres uniformes convexos

Nom	Imatge	Tipus de vèrtex	Símbol de Wythoff	Sím.	C#	W#	U#	K#	Vèrtexs	Arestes	Cares	Cares per tipus
Tetràedre		3.3.3	3 | 2 3	Td	C15	W001	U01	K06	4	6	4	4{3}
Prisma triangular		3.4.4	2 3 | 2	D3h	C33a	--	U76a	K01a	6	9	5	2{3} +3{4}
Tetràedre truncat		3.6.6	2 3 | 3	Td	C16	W006	U02	K07	12	18	8	4{3} +4{6}
Cub truncat		3.8.8	2 3 | 4	Oh	C21	W008	U09	K14	24	36	14	8{3} +6{8}
Dodecàedre truncat		3.10.10	2 3 | 5	Ih	C29	W010	U26	K31	60	90	32	20{3} +12{10}
Cub		4.4.4	3 | 2 4	Oh	C18	W003	U06	K11	8	12	6	6{4}
Prisma pentagonal		4.4.5	2 5 | 2	D5h	C33b	--	U76b	K01b	10	15	7	5{4} +2{5}
Prisma hexagonal		4.4.6	2 6 | 2	D6h	C33c	--	U76c	K01c	12	18	8	6{4} +2{6}
Prisma octogonal		4.4.8	2 8 | 2	D8h	C33e	--	U76e	K01e	16	24	10	8{4} +2{8}
Prisma decagonal		4.4.10	2 10 | 2	D10h	C33g	--	U76g	K01g	20	30	12	10{4} +2{10}
Prisma dodecagonal		4.4.12	2 12 | 2	D12h	C33i	--	U76i	K01i	24	36	14	12{4} +2{12}
Octàedre truncat		4.6.6	2 4 | 3	Oh	C20	W007	U08	K13	24	36	14	6{4} +8{6}
Cuboctàedre truncat		4.6.8	2 3 4 |	Oh	C23	W015	U11	K16	48	72	26	12{4} +8{6} +6{8}
Icosidodecàedre truncat		4.6.10	2 3 5 |	Ih	C31	W016	U28	K33	120	180	62	30{4} +20{6} +12{10}
Dodecàedre		5.5.5	3 | 2 5	Ih	C26	W005	sub-23	K28	20	30	12	12{5}
Icosàedre truncat		5.6.6	2 5 | 3	Ih	C27	W009	U25	K30	60	90	32	12{5} +20{6}
Octàedre		3.3.3.3	4 | 2 3	Oh	C17	W002	U05	K10	6	12	8	8{3}
Antiprisma quadrat		3.3.3.4	| 2 2 4	D4d	C34a	--	U77a	K02a	8	16	10	8{3} +2{4}
Antiprisma pentagonal		3.3.3.5	| 2 2 5	D5d	C34b	--	U77b	K02b	10	20	12	10{3} +2{5}
Antiprisma hexagonal		3.3.3.6	| 2 2 6	D6d	C34c	--	U77c	K02c	12	24	14	12{3} +2{6}
Antiprisma octagonal		3.3.3.8	| 2 2 8	D8d	C34e	--	U77e	K02e	16	32	18	16{3} +2{8}
Antiprisma decagonal		3.3.3.10	| 2 2 10	D10d	C34g	--	U77g	K02g	20	40	22	20{3} +2{10}
Antiprisma dodecagonal		3.3.3.12	| 2 2 12	D12d	C34i	--	U77i	K02i	24	48	26	24{3} +2{12}
Cuboctàedre		3.4.3.4	2 | 3 4	Oh	C19	W011	U07	K12	12	24	14	8{3} +6{4}
Rombicuboctàedre		3.4.4.4	3 4 | 2	Oh	C22	W013	U10	K15	24	48	26	8{3} +(6+12){4}
Rombicosidodecàedre		3.4.5.4	3 5 | 2	Ih	C30	W014	U27	K32	60	120	62	20{3} +30{4} +12{5}
Icosidodecàedre		3.5.3.5	2 | 3 5	Ih	C28	W012	U24	K29	30	60	32	20{3} +12{5}
Icosàedre		3.3.3.3.3	5 | 2 3	Ih	C25	W004	U22	K27	12	30	20	20{3}
Cub xato		3.3.3.3.4	| 2 3 4	O	C24	W017	U12	K17	24	60	38	(8+24){3} +6{4}
Dodecàedre xato		3.3.3.3.5	| 2 3 5	I	C32	W018	U29	K34	60	150	92	(20+60){3} +12{5}

Políedres uniformes estelats

Nom	Imatge	Sím Wyth	Tipus de vèrtex	Sím.	C#	W#	U#	K#	Vèrtexs	Arestes	Cares	Chi	Orient able?	Dens.	Cares per tipus
Octahemioctàedre		3/2 3 | 3	6.3/2.6.3	Oh	C37	W068	U03	K08	12	24	12	0	Sí		8{3}+4{6}
Tetrahemihexàedre		3/2 3 | 2	4.3/2.4.3	Td	C36	W067	U04	K09	6	12	7	1	No		4{3}+3{4}
Cubohemioctàedre		4/3 4 | 3	6.4/3.6.4	Oh	C51	W078	sub-15	K20	12	24	10	-2	No		6{4}+4{6}
Gran dodecàedre		5/2 | 2 5	(5.5.5.5.5)/2	Ih	C44	W021	U35	K40	12	30	12	-6	Sí	3	12{5}
Gran icosàedre		5/2 | 2 3	(3.3.3.3.3)/2	Ih	C69	W041	U53	K58	12	30	20	2	Sí	7	20{3}
Gran icosidodecàedre ditrigonal		3/2 | 3 5	(5.3.5.3.5.3)/2	Ih	C61	W087	U47	K52	20	60	32	-8	Sí	6	20{3}+12{5}
Rombihexàedre petit		2 4 (3/2 4/2) |	4.8.4/3.8	Oh	C60	W086	sub-18	K23	24	48	18	-6	No		12{4}+6{8}
Cubicuboctàedre petit		3/2 4 | 4	8.3/2.8.4	Oh	C38	W069	U13	K18	24	48	20	-4	Sí	2	8{3}+6{4}+6{8}
Gran rombicuboctàedre no convex		3/2 4 | 2	4.3/2.4.4	Oh	C59	W085	sub-17	K22	24	48	26	2	Sí	5	8{3}+(6+12){4}
Petit dodecahemidodecàedre		5/4 5 | 5	10.5/4.10.5	Ih	C65	W091	U51	K56	30	60	18	-12	No		12{5}+6{10}
Gran dodecahemidodecàedre		5/4 5 | 3	6.5/4.6.5	Ih	C81	W102	U65	K70	30	60	22	-8	No		12{5}+10{6}
Petit icosihemidodecàedre		3/2 3 | 5	10.3/2.10.3	Ih	C63	W089	U49	K54	30	60	26	-4	No		20{3}+6{10}
Petit dodecicosàedre		3 5 (3/2 5/4) |	10.6.10/9.6/5	Ih	C64	W090	U50	K55	60	120	32	-28	No		20{6}+12{10}
Petit rombidodecàedre		2 5 (3/2 5/2) |	10.4.10/9.4/3	Ih	C46	W074	U39	K44	60	120	42	-18	No		30{4}+12{10}
Petit dodecicosidodedaedre		3/2 5 | 5	10.3/2.10.5	Ih	C42	W072	U33	K38	60	120	44	-16	Sí	2	20{3}+12{5}+12{10}
Rombicosàedre		2 3 (5/4 5/2) |	6.4.6/5.4/3	Ih	C72	W096	U56	K61	60	120	50	-10	No		30{4}+20{6}
Gran icosicosidodecàedre		3/2 5 | 3	6.3/2.6.5	Ih	C62	W088	U48	K53	60	120	52	-8	Sí	6	20{3}+12{5}+20{6}
Prisma pentagràmic		2 5/2 | 2	5/2.4.4	D5h	C33b	--	U78a	K03a	10	15	7	2	Sí	2	5{4}+2{5/2}
Prisma heptagràmic (7/2)		2 7/2 | 2	7/2.4.4	D7h	C33d	--	U78b	K03b	14	21	9	2	Sí	2	7{4}+2{7/2}
Prisma heptagràmic (7/3)		2 7/3 | 2	7/3.4.4	D7h	C33d	--	U78c	K03c	14	21	9	2	Sí	3	7{4}+2{7/3}
Prisma octagràmic		2 8/3 | 2	8/3.4.4	D8h	C33e	--	U78d	K03d	16	24	10	2	Sí	3	8{4}+2{8/3}
Antiprisma pentagràmic		| 2 2 5/2	5/2.3.3.3	D5h	C34b	--	U79a	K04a	10	20	12	2	Sí	2	10{3}+2{5/2}
Antiprisma pentagràmic creuat		| 2 2 5/3	5/3.3.3.3	D5d	C35a	--	U80a	K05a	10	20	12	2	Sí	3	10{3}+2{5/2}
Antiprisma heptagràmic (7/2)		| 2 2 7/₂	7/₂.3.3.3	D7h	C34d	--	U79b	K04b	14	28	16	2	Sí	3	14{3}+2{7/₂}
Antiprisma heptagràmic (7/3)		| 2 2 7/₃	7/₃.3.3.3	D7d	C34d	--	U79c	K04c	14	28	16	2	Sí	3	14{3}+2{7/₃}
Antiprisma heptagràmic creuat		| 2 2 7/₄	7/₄.3.3.3	D7h	C35b	--	U80b	K05b	14	28	16	2	Sí	4	14{3}+2{7/₃}
Antiprisma octagràmic		| 2 2 8/₃	8/₃.3.3.3	D8d	C34e	--	U79d	K04d	16	32	18	2	Sí	3	16{3}+2{8/₃}
Antiprisma octagràmic creuat		| 2 2 8/₅	8/₅.3.3.3	D8d	C35c	--	U80c	K05c	16	32	18	2	Sí	5	16{3}+2{8/₃}
Petit dodecàedre estelat		5 | 2 5/2	(5/2)5	Ih	C43	W020	U34	K39	12	30	12	-6	Sí	3	12{5/2}
Gran dodecàedre estelat		3 | 2 5/2	(5/2)3	Ih	C68	W022	U52	K57	20	30	12	2	Sí	7	12{5/2}
Dodecadodecàedre ditrigonal		3 | 5/3 5	(5/3.5)3	Ih	C53	W080	U41	K46	20	60	24	-16	Sí	4	12{5}+12{5/2}
Petit icosidodecàedre ditrigonal		3 | 5/2 3	(5/2.3)3	Ih	C39	W070	U30	K35	20	60	32	-8	Sí	2	20{3}+12{5/2}
Hexaedre truncat estelat		2 3 | 4/3	8/3.8/3.3	Oh	C66	W092	sub-19	K24	24	36	14	2	Sí	7	8{3}+6{8/3}
Gran rombihexàedre		2 4/3 (3/2 4/2) |	4.8/3.4/3.8/5	Oh	C82	W103	sub-21	K26	24	48	18	-6	No		12{4}+6{8/3}
Gran cubicuboctàedre		3 4 | 4/3	8/3.3.8/3.4	Oh	C50	W077	U14	K19	24	48	20	-4	Sí	4	8{3}+6{4}+6{8/3}
Gran dodecahemidodecàedre		5/35/2 | 5/3	10/3.5/3.10/3.5/2	Ih	C86	W107	U70	K75	30	60	18	-12	No		12{5/2}+6{10/3}
Petit dodecahemicosàedre		5/35/2 | 3	6.5/3.6.5/2	Ih	C78	W100	U62	K67	30	60	22	-8	No		12{5/2}+10{6}
Dodecadodecàedre		2 | 5/2 5	(5/2.5)2	Ih	C45	W073	U36	K41	30	60	24	-6	Sí	3	12{5}+12{5/2}
Gran icosihemidodecàedre		3/2 3 | 5/3	10/3.3/2.10/3.3	Ih	C85	W106	U71	K76	30	60	26	-4	No		20{3}+6{10/3}
Gran icosidodecàedre		2 | 5/2 3	(5/2.3)2	Ih	C70	W094	U54	K59	30	60	32	2	Sí	7	20{3}+12{5/2}
Cuboctàedre cubitruncat		4/3 3 4 |	8/3.6.8	Oh	C52	W079	sub-16	K21	48	72	20	-4	Sí	4	8{6}+6{8}+6{8/3}
Gran cuboctàedre truncat		4/3 2 3 |	8/3.4.6/5	Oh	C67	W093	sub-20	K25	48	72	26	2	Sí	1	12{4}+8{6}+6{8/3}
Gran dodecàedre truncat		2 5/2 | 5	10.10.5/2	Ih	C47	W075	U37	K42	60	90	24	-6	Sí	3	12{5/2}+12{10}
Petit dodecàedre truncat estelat		2 5 | 5/3	10/3.10/3.5	Ih	C74	W097	U58	K63	60	90	24	-6	Sí	9	12{5}+12{10/3}
Gran dodecàedre truncat estelat		2 3 | 5/3	10/3.10/3.3	Ih	C83	W104	U66	K71	60	90	32	2	Sí	13	20{3}+12{10/3}
Gran icosàedre truncat		2 5/2 | 3	6.6.5/2	Ih	C71	W095	U55	K60	60	90	32	2	Sí	7	12{5/2}+20{6}
Gran dodecicosàedre		3 5/3(3/2 5/2) |	6.10/3.6/5.10/7	Ih	C79	W101	U63	K68	60	120	32	-28	No		20{6}+12{10/3}
Gran rombidodecàedre		2 5/3 (3/2 5/4) |	4.10/3.4/3.10/7	Ih	C89	W109	U73	K78	60	120	42	-18	No		30{4}+12{10/3}
Icosidodecadodecàedre		5/3 5 | 3	6.5/3.6.5	Ih	C56	W083	U44	K49	60	120	44	-16	Sí	4	12{5}+12{5/2}+20{6}
Petit dodecicosidodecàedre ditrigonal		5/3 3 | 5	10.5/3.10.3	Ih	C55	W082	U43	K48	60	120	44	-16	Sí	4	20{3}+12{;5/2}+12{10}
Gran dodecicosidodecàedre ditrigonal		3 5 | 5/3	10/3.3.10/3.5	Ih	C54	W081	U42	K47	60	120	44	-16	Sí	4	20{3}+12{5}+12{10/3}
Gran dodecicosidodecàedre		5/2 3 | 5/3	10/3.5/2.10/3.3	Ih	C77	W099	U61	K66	60	120	44	-16	Sí	10	20{3}+12{5/2}+12{10/3}
Petit icosicosidodecàedre		5/2 3 | 3	6.5/2.6.3	Ih	C40	W071	U31	K36	60	120	52	-8	Sí	2	20{3}+12{5/2}+20{6}
Rombidodecadodecàedre		5/2 5 | 2	4.5/2.4.5	Ih	C48	W076	U38	K43	60	120	54	-6	Sí	3	30{4}+12{5}+12{5/2}
Gran rombicosidodecàedre no convex		5/3 3 | 2	4.5/3.4.3	Ih	C84	W105	U67	K72	60	120	62	2	Sí	13	20{3}+30{4}+12{5/2}
Dodecadodecàedre icositruncat		5/3 3 5 |	10/3.6.10	Ih	C57	W084	U45	K50	120	180	44	-16	Sí	4	20{6}+12{10}+12{10/3}
Dodecadodecàedre truncat		5/3 2 5 |	10/3.4.10/9	Ih	C75	W098	U59	K64	120	180	54	-6	Sí	3	30{4}+12{10}+12{10/3}
Gran icosidodecàedre truncat		5/3 2 3 |	10/3.4.6	Ih	C87	W108	U68	K73	120	180	62	2	Sí	13	30{4}+20{6}+12{10/3}
Dodecadodecàedre xato		| 2 5/2 5	3.3.5/2.3.5	I	C49	W111	U40	K45	60	150	84	-6	Sí	3	60{3}+12{5}+12{5/2}
Dodecadodecàedre xato invertit		| 5/3 2 5	3.5/3.3.3.5	I	C76	W114	U60	K65	60	150	84	-6	Sí	9	60{3}+12{5}+12{5/2}
Gran icosidodecàedre xato		| 2 5/2 3	34.5/2	I	C73	W116	U57	K62	60	150	92	2	Sí	7	(20+60){3}+12{5/2}
Gran icosidodecàedre xato invertit		| 5/3 2 3	34.5/3	I	C88	W113	U69	K74	60	150	92	2	Sí	13	(20+60){3}+12{5/2}
Gran icosidodecàedre retroxato		| 3/25/3 2	(34.5/2)/2	I	C90	W117	U74	K79	60	150	92	2	Sí	37	(20+60){3}+12{5/2}
Gran dodecicosidodecàedre xato		| 5/35/2 3	33.5/3.3.5/2	I	C80	W115	U64	K69	60	180	104	-16	Sí	10	(20+60){3}+(12+12){5/2}
Icosidodecadodecàedre xato		| 5/3 3 5	33.5.5/3	I	C58	W112	U46	K51	60	180	104	-16	Sí	4	(20+60){3}+12{5}+12{5/2}
Petit icosicosidodecàedre xato		| 5/2 3 3	35.5/2	Ih	C41	W110	U32	K37	60	180	112	-8	Sí	2	(40+60){3}+12{5/2}
Petit icosicosidodecàedre retroxato		| 3/23/25/2	(35.5/3)/2	Ih	C91	W118	U72	K77	60	180	112	-8	Sí	38	(40+60){3}+12{5/2}
Gran dirombicosidodecàedre		| 3/25/3 3 5/2	(4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2	Ih	C92	W119	U75	K80	60	240	124	-56	No		40{3}+60{4}+24{5/2}

Nom	Imatge	Sím Wyth	Tipus de vèrtex	Sím.	C#	W#	U#	K#	Vèrtexs	Arestes	Cares	Chi	Orient able?	Dens.	Cares per tipus
Gran dirombidodecàedre dixato*		| (3/₂) ⁵/₃ (3) ⁵/₂	(5/2.4.3.3.3.4. 5/3. 4.3/2.3/2.3/2.4)/2	Ih	--	--	--	--	60	360 (*)	204	-96	No		120{3}+60{4}+24{5/2}

(*): El gran dirombidodecàedre dixato té 240 de les seves 360 arestes que coincideixen en 120 parells d'arestes amb la mateixa imatge a l'espai. A causa d'aquesta degeneració relativa a les arestes, no sempre és considerat un políedre uniforme. Si aquests 120 parells són considerats com si fossin arestes simples on es troben 4 cares, llavors el nombre d'arestes baixa a 240 i la característica d'Euler esdevé 24.

Llegenda de les columnes

• Indexat uniforme: U01-U80 (el tetràedre primer, prismes a 76+)
• Indexat de programari de Kaleido: K01-K80 (K_n = U_n-5 per n = 6 a 80) (prismes 1-5, tetraèdre etc. 6+)
• Models polièdrics de Wenninger: W001-W119
  • 1-18 - 5 regulars convexos i 13 semiregulars convexos
  • 20-22, 41 - 4 regulars no convexos
  • 19-66 48 estelacions/compostos especials (no hi ha no regulars en aquesta llista)
  • 67-109 - 43 uniformes no xatos no convexos
  • 110-119 - 10 uniformes xatos no convexos
• Xi: característica d'Euler, χ. Les tessel·lacions unifmres en el ple corresponen a una topologia d'anell, amb característica d'Euler de zero.
• Densitat: la densitat d'un polítop representa el nombre d'enrotllaments d'un políedre al voltant del seu centre. Es deixa en blanc per a políedres no orientables i semipolíedres (políedres amb cares que passen a través del seu centre), pels quals la densitat no queda ben definida.
• Nota sobre les imatges de figura de vèrtex:
  • Les línies blanques poligonals representen el polígon de "figura de vèrtex". Les cares acolorides s'inclouen a les imatges de figura de vèrtex per ajudar a veure les seves relacions. Algunes de les cares que s'intersequen estan mal dibuixades visualment perquè no s'intersequen bé visualment per poder veure quines porcions es troben a davant.

Bibliografia

• Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1974. ISBN 0-521-09859-9.
• Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-54325-8.
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. «Uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society, 246, 916, 1954, pàg. 401–450. DOI: 10.1098/rsta.1954.0003. ISSN: 0080-4614. JSTOR: 91532.
• Skilling, J. «The complete set of uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 278, 1278, 1975, pàg. 111–135. DOI: 10.1098/rsta.1975.0022. ISSN: 0080-4614. JSTOR: 74475.

Enllaços externs

• Stella: Polyhedron Navigator - Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
• Paper models