En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució beta és una família de distribucions de probabilitat contínues definides en l'interval [0, 1], parametritzades per dos paràmetres de forma, denotats α i β, que apareixen com a exponents de la variable aleatòria i controlen la forma de la distribució. Es tracta d'un cas especial de la distribució de Dirichlet.
Dades ràpides Tipus, Notació ...
Distribució beta |
Funció de distribució de probabilitat |
Tipus | família exponencial, Distribució beta no central, distribució lambda de Wilks, Distribució de Dirichlet, distribució univariant i distribució de probabilitat contínua ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Notació | Beta(α, β) |
---|
Paràmetres | α > 0 forma (real) β > 0 forma (real) |
---|
Suport | or ![{\displaystyle x\in (0,1)\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4bd4921b023da2cf81472604e1583c7526af1d) |
---|
fdp | ![{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125fdaa41844a8703d1a8610ac00fbf3edacc8e7) on ![{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32815268d9d70b0b9fbb8fd5a25be7bc640aa50) |
---|
FD | ![{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630767808887e1bd81c51a75934e8a196907bb93) |
---|
Esperança matemàtica | ![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3905662ceed484cba5580951e29eda96f4d2605e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de67df996fa33237ab7f415e7edc9fa8e71997a0)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X\,\ln X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,\left[\psi (\alpha +1)-\psi (\alpha +\beta +1)\right]\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50106a787db7d72ce3066a5a3238813cffebcc2e) (vegeu funció digamma i vegeu secció: mitjana geomètrica) |
---|
Mediana | ![{\displaystyle {\begin{matrix}I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta ){\text{ (in general) }}\\[0.5em]\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta >1\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af887ef0331cde970dad14ad670cf3592334f845) |
---|
Moda | = per α, β > 1
qualsevol valor en per α, β = 1
{0, 1} (bimodal) per α, β < 1
0 per α ≤ 1, β > 1
1 per α > 1, β ≤ 1 |
---|
Variància | ![{\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90a6ad61b4b436749ca37a6c2a1aa077b032ce3)
![{\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4941f45412823abd34d3befea7f8fbf544135e4) (vegeu funció trigamma i vegeu secció: Variància geomètrica) |
---|
Coeficient de simetria | ![{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ec71817c032c8eb21b5feadd0ec9b91c747530) |
---|
Curtosi | ![{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea65a8d7c9e00ba6299b727eab679117776f41e) |
---|
Entropia | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c89e36ccbf7522eba17d6e5ddb267e7cef46b8e) |
---|
FC | ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
(vegeu funció hipergeomètrica confluent) |
---|
Mathworld | BetaDistribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Tanca
La distribució beta ha estat aplicada per modelar el comportament de variables aleatòries limitades a intervals de longitud finita en una àmplia varietat de disciplines.
En inferència bayesiana, la distribució beta és la distribució anterior conjugada de la distribució de Bernoulli, la distribució binomial, la binomial negativa, i la distribució geomètrica. Per exemple, la distribució beta pot ser usada en anàlisi bayesiana per descriure el coneixement inicial sobre la probabilitat d'èxit com ara la probabilitat que una nau espacial completi una missió específica. La distribució beta és, a més, un model vàlid per al comportament aleatori de percentatges i proporcions.
La formulació habitual de la distribució beta és també coneguda com a distribució beta de primer tipus, mentre que el terme distribució beta de segon tipus fa referència a la distribució beta prima.