Cúpula quadrada

En geometria, la cúpula quadrada es pot construir tallant una llesca del petit rombicuboctàedre. És un dels noranta-dos sòlids de Johnson (J₄). Té simetria C_4v.

Cúpula quadrada

Model 3D
Tipus	Sòlid de Johnson
Forma de les cares	Triangles equilàters quadrats i un octògon
Configuració de vèrtex	triangle i trapezi
Símbol de Schläfli	{4}||t{4}
Cares per vèrtex	3 i 4
Vèrtexs per cara	3, 4 i 8
Simetria	C4v
Dual	-
Propietats	Convex
Elements
Cares	10
Arestes	20
Vèrtexs	12
Característica	2
Més informació
MathWorld	SquareCupola

Els 92 sòlids de Johnson van ser descrits 1966 per Norman Johnson i els va numerar.^[1] No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls nota J_xx on xx és el nombre donat per Jonson.

Fórmules

• L'àrea de la cúpula quadrada de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle A=L^{2}\cdot (7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\approx L^{2}\cdot 11.56048}$^[2]

• El volum de la cúpula quadrada de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle V=L^{3}\cdot \left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.94281}$^[2]

• L'altura de la cúpula quadrada de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle h=L\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx L\cdot 0.70711}$^[2]

• El circumradi de la cúpula quadrada de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle C=L\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}\right)\approx L\cdot 1.39897}$^[3]

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla de la cúpula quadrada

Referències

1. Johnson, Norman W. «Políedres convexos amb cares regulars» (en anglès). Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pàg. 169–200.
2. Sapiña, R. «Àrea i volum de la cúpula quadrada o sòlid de Johnson J₄» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 16 juliol 2020].
3. «Wolfram|Alpha Knowledgebase». Wolfram Research, Inc. [Champaign, IL], 2020.

• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic

Enllaços externs

• Weistein, Eric W., Square cupola cúpula quadrada a MathWorld. (anglès)
• Weistein, Eric W., Johnson solid Sòlids de Johnson a MathWorld. (anglès)