Bipiràmide pentagonal

En geometria, la bipiràmide pentagonal és un dels noranta-dos sòlids de Johnson (J₁₃).

Bipiràmide pentagonal

Tipus	Sòlid de Johnson
Forma de les cares	Triangles equilàters
Símbol de Schläfli	{}+{5} i ft{2,5}
Cares per vèrtex	4 i 5
Vèrtexs per cara	3
Simetria	D5h
Dual	Prisma pentagonal
Propietats	Convex totes les cares iguals
Elements
Cares	10
Arestes	15
Vèrtexs	7
Característica	2
Sèrie
← bipiràmide quadrilateral hexagonal bipyramid (en) →
Més informació
MathWorld	PentagonalDipyramid

Sòlid de Johnson J₁₃

Es pot obtenir enganxant dues piràmides de base pentagonal. D'aqui ve el seu nom.

El seu dual és el prisma pentagonal.

Tot i que les seves cares són polígons regulars i són totes iguals, no és un dels sòlids platònics perquè té vèrtexs en els que hi concorren quatre cares i altres en els que n'hi concorren cinc.

Els 92 sòlids de Johnson van ser descrits 1966 per Norman Johnson i els va numerar. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls nota J_xx on xx és el nombre donat per Jonson.

Fórmules

Fórmules de l'altura (${\displaystyle H}$), àrea (${\displaystyle A}$) i volum (${\displaystyle V}$) de la bipiràmide pentagonal amb cares regulars (sòlid de Johnson) i arestes de longitud ${\displaystyle L}$:^[1]

${\displaystyle H=L\cdot {\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx L\cdot 1.0514622242}$

${\displaystyle A=L^{2}\cdot {\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\approx L^{2}\cdot 4.330127019}$

${\displaystyle V=L^{3}\cdot {\frac {5+{\sqrt {5}}}{12}}\approx L^{3}\cdot 0.6030056648}$

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla de la bipiràmide pentagonal

Referències

1. Sapiña, R. «Àrea i volum del sòlid de Johnson J₁₃» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 4 setembre 2020].

• Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjetura de qo n'hi ha pas d'altres.
• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic

Enllaços externs

• Weistein, Eric W., Pentagonal dipyramid bipiràmide pentagonal a MathWorld. (anglès)
• Weistein, Eric W., Johnson solid Sòlids de Johnson a MathWorld. (anglès)