Kubni korijen

U matematici, kubni korijen broja, u oznaci ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ ili x^1/3, je broj a, takav da vrijedi a³ = x. Svi realni brojevi imaju tačno jedan realan kubni korijen i par konjugovano kompleksnih korijena, a svi kompleksni brojevi, različiti od nule, imaju tri različita komleksna kubna korijena. Naprimjer, realan kubni korijen od 8 je 2, jer je 2³ = 8. Svi kubni korijeni od −27i su

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-27i}}={\begin{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3i\\\ \ {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i\\-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.\end{cases}}}$

Grafik flunkcije y = ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ za ${\displaystyle x\geq 0}$. Cijeli grafik je simetričan u odnosu na ishodište koordinatnog sistema, te je to neparna funkcija. U x = 0 ovaj grafik ima vertikalnu tangentu.

Operacija kubnog korjenovanja nije asocijativna ili distributivna sa sabiranjem ili oduzimanjem.

Operacija kubnog korjenovanja je asocijativna sa eksponencijacijom i distributivna sa množenjem i dijeljenjem ako se razmatraju samo realni brojevi, ali ne uvijek ako se razmatraju kompleksni brojevi, naprimjer:

${\displaystyle ({\sqrt[{3}]{8}})^{3}=8}$

ali

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8^{3}}}={\begin{cases}\ \ 8\\-4+4{\sqrt {3}}i\\-4-4{\sqrt {3}}i.\end{cases}}}$

Formalna definicija

Kubni korijen broja x su brojevi y koji zadovoljavaju jednačinu

${\displaystyle y^{3}=x.\ }$

Kubni korjen i parabola

Kada se suočimo sa jednačinama trećeg stepena, nastaju mnogo veći problemi nego što je to slučaj sa kvadratnim jednačinama. Jasno je da nikakvim dopunama do kvadrata ne možemo naći korjene kubnih jednačina, pa je zato neophodno da pribjegnemo drugačijim rješenjima.

Izlaz za ovaj problem nude nam konusni presjeci kao što su parabola i (pravougaona) hiperbola. Kao dovoljno ilustrativan primjer konstrukcije konusnog presjeka, konstruisaćemo parabolu, a zatim kubni korjen. Konstrukcija kubnog korjena zasniva se na osobini koju su uočili jos grčki matematičari.

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {c}{d}}={\frac {d}{b}}=>({\frac {a}{c}})^{2}={\frac {c}{d}}{\frac {d}{b}}={\frac {c}{b}}=>c^{3}=a^{2}b}$

Za ${\displaystyle a=1}$ imamo

${\displaystyle c^{2}=ad=1*d=d}$ i ${\displaystyle d^{2}=bc}$

Ako su ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle d}$ peomjenljive, ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ konstante imamo jednacine

${\displaystyle c^{2}=d}$ ${\displaystyle d^{2}=bc}$ ${\displaystyle b=const}$

Možemo smatrati jednačinama dvije parabole ćije su ose normalne, a tjeme im je u istoj tački. Na ove činjenice treba dobro obratiti pažnju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korjena.

Al-Hajam je prihvatio grčki postupak konstruisanja parabole. Naime, ako je AB duž, tada je parabola sa tjemenom B i parametrom ${\displaystyle AB}$ takva kriva ${\displaystyle p}$ za koju, ako tačka ${\displaystyle C}$ pripada krivoj ${\displaystyle p}$, za pravougaonik CDBE važi:

${\displaystyle BE^{2}=AB*BD}$

Kako su Dekartove koordinate tačke ${\displaystyle C}$ zaista ${\displaystyle (BE,BD)}$, ova je jednakost vrlo bliska kanonskoj jednačini parabole:

${\displaystyle y^{2}=2px}$ Konstrukciju parabole, koristimo za konstrukciju kubnog korjena, a za konstrukciju tačaka parabole konstrukciju kvadratnog korjena.

Sada možemo da razmotrimo samu konstrukciju kubnog korjena

${\displaystyle c^{3}=b}$. Neka je b proizvoljan pozitivan broj ili dužina duži i označimo ga ${\displaystyle b=AB}$.

Konstruišimo tačku C takvu da je ${\displaystyle CB}$ normala na ${\displaystyle AB}$ u tacki B i ${\displaystyle CB=1}$. Prema navedenoj konstrukciji, konstruišimo parabolu sa tjemenom B i parametrom AB, kao i parabolu sa istim tjemenom i parametrom ${\displaystyle CB}$. Označimo sa E presjek tih dviju krivi i konstruišimo pravougaonik ${\displaystyle BFEG}$. Tada je:

${\displaystyle FE^{2}=AB*BF}$

${\displaystyle GE^{2}=CB*BG}$

Za ${\displaystyle c=GE=BF}$ i ${\displaystyle d=BG=FE}$ imamo

${\displaystyle d^{2}=bc}$

${\displaystyle c^{2}=1*d)=>c^{4}=bc=>}$

${\displaystyle c^{3}=b(c\neq 0)=>c={\sqrt[{3}]{b}}}$

Izvor

Arapski matematičari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA^{[mrtav link]}

Također pogledajte

• Spisak tema o polinomima
• Radikal (matematika)
• Kvadratni korijen
• Ugniježdeni radikal
• Primitivni korijen
• Korijen od jedan
• Algoritam pomaka ntog korijena

Vanjski linkovi

• Kalkulator kubnog korijena
• Kubni korijen na PlanetMath-u
• Eric W. Weisstein, Kubni korijen na MathWorld-u.