Jednačina

Jednačina je matematički pojam koji izražava vezu između poznatih i nepoznatih veličina posredstvom znaka jednakosti koji izjednačava lijevu i desnu stranu jednačine. Razlikujemo matematički identitet, gdje se ustanovljava jednakost lijeve i desne strane,

${\displaystyle 2+3=5\,.}$

Prva jednačina, ikada napisana, od strane Roberta Recordea, koji je izmislio znak jednakosti.

Za svaku datu vrijednost ${\displaystyle x}$, uvijek je tačno

${\displaystyle x-x=0}$.

Dvije gornje jednakosti su primjeri identiteta.

${\displaystyle x+1=2}$ nije identitet

Gornja jednačina je netačna za beskonačno mnogo vrijednosti promenljive ${\displaystyle x}$. Tačna je za samo jedno jedinstveno rješenje, a to je je ${\displaystyle x=1}$. Ako je poznato da je jednačina tačna, ona daje podatak o vrijednosti ${\displaystyle x}$. Uopšteno, vrijednosti promenljivih za koje je jednačina tačna nazivaju se rešenje jednačine. Riješiti jednačinu znači naći njena rješenja.

Primjer

${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1}$ je identitet, dok je

${\displaystyle (x+1)^{2}=2x^{2}+x+1}$ jednačina, čija su rješenja ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle x=1}$.

Slova sa početka alfabeta, kao što su ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle c}$ koriste se za označavanje konstante, a slova sa kraja alfabeta, kao što su ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ '${\displaystyle z}$ za označavanje promjenljive.

Neka su data preslikavanja ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$. Često moramo naći skup ${\displaystyle S}$ takav da je:

${\displaystyle {f/S}(x)={g/S}(x)}$ za svako ${\displaystyle x\in S}$.

Treba riješiti jednačinu

${\displaystyle f(x)=g(x)}$

Ako ne postoji takvo ${\displaystyle x}$ jednačina je nemoguća. Formula ${\displaystyle f(x)}$ je definisana ako je ${\displaystyle f(x)}$ određen skup. Skup brojeva za koje je ${\displaystyle f(x)}$ definisana nazivamo prirodno područje definicije

Osobine

Ako je jednačina u algebri tačna, sljedeće operacije se mogu sprovesti da bi se dobila nova tačna jednačina:

Teorem 1

Ako je ${\displaystyle h(x))}$ definisana tada su jednačine

${\displaystyle f(x)+h(x)=g(x)+h(x)}$

${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ekvivalentne.

Teorem 2

Za ${\displaystyle a\neq 0)}$

${\displaystyle af(x)=ag(x)}$ je ekvivalentna sa ${\displaystyle f(x)=g(x)}$

Teorem 3

Ako su ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ekvivalentne onda su i pojedinačne jednačine ${\displaystyle f(x)h(x)=g(x)h(x)}$ ekvivalentne i nova rješenja su rješenja jednačine ${\displaystyle f(x)=g(x)}$

Teorem 4

${\displaystyle f(x)=g(x)}$ je podjednačina jednačine ${\displaystyle \left|f(x)\right\vert =\left|g(x)\right\vert }$

Također pogledajte

• Nejednačina
• Nejednakost
• Linearna jednačina
• Kvadratna jednačina
• Kubna jednačina
• Kvartna jednačina
• Kvintna jednačina
• Neodređena jednačina
• Diferencijana jednačina
• Integralna jednačina
• Funkcionalna jednačina
• Diofantska jednačina
• Spisak jednačina
• Parametarska jednačina
• Polinomalna jednačina
• Naučne jednačine imenovane po ljudima