Skup (matematika)

Skup (množina) u matematici je osnovni pojam moderne matematike.

Neformalno, pod skupom se podrazumijeva "svaka vrste kolekcije različitih predmeta" (Georg Cantor). Na pojmu skupa stoji današnja matematika, jer upravo taj pojam se uzima, zajedno s logikom prvog reda, za gradnju matematike na aksiomima.

Skup možemo zadati njegovim elementima (članovima) konačnim ili beskonačnim:

${\displaystyle S=\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace }$,

${\displaystyle T=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},...\rbrace }$.

Često skup zadajemo i pomoću nekog pravila:

${\displaystyle S=\lbrace n\in \mathbf {N} :n<7\rbrace }$.

Neke skupove označavamo uvijek istim slovima

• N prirodni brojevi
• R realni brojevi
• Q racionalni brojevi...

Skup koji nema ni jedan element naziva se prazni skup. Jednačina x²+1=0 u R nema rješenja.

Operacije sa skupovima

Presjek skupova

Presjek ili zajednički dio dva skupa je skup koji čine elementi koji su u skupu A i u skupu B. Označavamo ga sa

${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}}$

Za relaciju presjek važi zakon komutacije

A∩B = B∩A

${\displaystyle A=\{a,b,c\}}$

${\displaystyle B=\{c,d\}}$

A∩B = ${\displaystyle \{c\}}$

Za B={ d } bilo bi A ∩B= ø

Dvije paralelne prave su disjunktne Za skupove A i B kažemo da su disjunkti ako i samo ako je njihov presjek prazan skup.

Unija skupova

Unija skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova A i B. Označavamo ga sa .

${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}$

Za relaciju unija vrijedi zakon komutacije

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$

Za relacije unije i presjeka važe relacije

${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$ (zakoni asocijacije)

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$ (zakoni distribucije)

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$ asocijativnost

${\displaystyle A\cup \emptyset =A}$ neutralni elemenat

${\displaystyle \left(\bigcap _{k}A_{k}\right)\cup B=\bigcap _{k}\left(A_{k}\cup B\right)}$

Kardinalni broj unije skupova A i B je

${\displaystyle k(A\cup B)=k(A)+k(B)}$

Podskup

Za skup A kažemo da je podskup skupa B onda i samo onda ako je svaki element iz A ujedno i element iz B ili A ∩B= A

Skup kome je A podskup zove se nadskup skupa A. Ako je A podskup od B i ako B ima bar jedan element koji nije u A kažemo da je A pravi podskup od B. Svaki podskup možemo shvatiti kao njegov nepravi podskup . za svaki skup vrijedi A ∩ ø = A tj ø je podskup svakog skupa. Skupovi A i B su neuporedivi u odnosu na relaciju podskup ako nije ${\displaystyle A\subset B}$ , a niti ${\displaystyle B\subset A}$ Unija dva skupa je podskup

Prazan skup

Prazan skup ∅ (ili {})je, skup koji nema nijednog elementa, on je podskup svakog skupa.

Jednaki skupovi

Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A=B onda i samo onda ako je ${\displaystyle A\subset B}$ i ${\displaystyle B\subset A}$ tj ako su elementi skupa A eklementi skupa B i obrnuto ako su elementi skupa B elementi skupa A.

Razlika (diferencija) skupova

Ako su A i B skupovi tada skup svih elemenata skupa A koji nisu u B nazivamo razlika skupova A i B i pišemo

${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}$

Simetrična razlika skupova

Simetrična razlika skupova A i B je skup A∆B koji sadrži sve elemente skupova A\B i B\A. Pišemo: A∆B=(A\B)∪(B\A)

Komplement skupova

Neka je A⊆B. Komplement (dopuna) skupa A u odnosu na skup B je skup svih elemenata iz B koji ne pripadaju skupu A. Pišemo: CB(A)={𝑥∈B:𝑥∉𝐴}

Partitivni skup

Neka je A proizvoljni skup. Skup svih podskupova skupa A nazivamo partitivni skup skupa A. Pišemo: P(A)={X:X⊆A} Ako je skup A konačan i ima n elemenata tada njegov partitivni skup P(A) ima 2ⁿ elemenata. Npr. za A={1,*,a} je P(A)={∅,{1},{*},{a},{1,*},{1,a},{*,a},{1,*,a}}.

Kartezijev (direktni) proizvod skupova

Ako su A i B skupovi skup svih parova (a,b) kod kojih je a iz A i b iz B označavamo sa AXB nazivamo kartezijev ili direktni proizvod skupova A i B

Konačni i beskonačni skupovi

Za skup A kažemo da je ekvivalentan skupu S ako i samo ako postoji bijekcija sa A na S.

Za relaciju ekvivalencije skupova vrijede sljedeće osobone:

1. Refleksivnost

A ≈A za svaki neprazni skup

1. Simetričnost

A ≈B <=> B ≈ A

1. Tranzitivnost

A ≈B & B≈C => A ≈C

Definišimo prirodne brojeve .. na sljedeći način 0={ø} 1={0} 2={1,2}... Označavamo ga sa N(naturalis- prirodan)

Ovo su bili prvi brojevi kojima se koristio čovjek i imaju glavno mjesto u izgradnji matematičke nauke. Za skup S kažemo da je konačan ako postoji prirodni broj n takav da je skup S={1,2,3,...} ekvivalentan sa skupom S.

Neke osobine skupova

1. Svaki skup može se preslikati na svoj pravi podskup.
2. Svaki skup koji se može preslikati na svoj pravi podskup je beskonačan.
3. Skup je konačan ako i samo ako se može preslikati na svoj pravi podskup.

Ako su A,B,C skupovi sa osobinom ${\displaystyle A\subset B}$; ${\displaystyle B\subset C}$ i A je ekvivalentan sa C onda je A ekvivalentan sa B.

Kardinalni broj skupa

Ekvivalentni skupovi se još zovu i istobrojni. Umjesto A≈B pišemo k(A)=k(B) – kardinalni broj skupa A jednak je kardinalnom broju skupa B.

Cantorova teorema

Za svaki skup S vrijedi k(S)<kP(S) gdje je P(S) partitivni skup skupa S. Kardinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni.

Korolar

Ne posatoji najveći transfinitni kardinalni broj

G Cantor je postavio hipotezu da između brojeva k(N) i kP(N) nama nijednog kardinalnog broja. To je hipoteza kontinuuma. Ovu hipotezu su nastojali dokazati ili opovrgnuti mnogi matematičari pa i sam Cantor (osnivač teorije skupova). Ovaj problem je ostao neriješen sve do 1963.god. kada je Amerikanac P Cohen(Koen) dokazao da ova hipoteza ne zavisi od ostalih aksioma teorije skupova. Isto kao što i V postulat Euklidove geometrije ne zavisi od ostalih aksioma.

Teorema

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup A U B

Teorema

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup AxB Teorema o ekvivalenciji

Ako je skup A ekvivalentan sa podskupom skupa B i B ekvivalentan sa podskupom skupa A onda su skupovi A iB ekvivalentni tj. k(A)=K(B)

Ako je skup A konačan ,a S beskonačan onda je k(AUS)=k(S)

Ordinalni broj skupa

Neka je A dobro uređen skup. Klasu dobro uređenih skupova koji su slični sa A nazivamo ordinalni broj , oznaka ord(A) .

Ordinalni brojevi dobro uređenih skupova {1},{1,2},{1,2,3,}... zovemo konačni ordinalni broj i označavamo ih sa 1,2,3,... Ordinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni.

Aksioma izbora (Zemerlov aksiom)

Ako je S dati skup tada iz svakog nepraznog podskupa skupa S možemo izabrati jedan element , tj postoji barem jedna funkcija koja svakom nepraznom skupu X podskup S pridružuje jedan element x iz X.

Za svaki beskonačan kardinalni broj a vrijedi a²=a Za svaka dva skupa A i B važi k(A)=k(B) ili k(A)<k(B) ;k(A)=k(B) ili k(A)>k(B)

Zornova(Cornova) lema

Ako je A parcijalno uređen skup u kome svaki potpuno urešen podskup ima gornju granicu sadrži bar jedan maksimalni element.

Paradoksi u teoriji skupova

Cantorov paradoks

Uznimo da je S skup svih skupova. Tada je svaki podskup od S ujedno i član od S. Dakle, i partitivni skup od S je podskup od S.

P(S) podskup od S kP(S)<k(S) i kP(S)=k(S) Međutim prema Cantorovom teoremu je kP(S)>k(S)

Russellov paradoks

Neka je S skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup S sam sebi.

Primjer:

U nekom selu postoji brijač koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju. Pitanje: Ko brije brijača? Naime, ukoliko neko drugi brije brijača, onda on ne brije one i samo one ljude koji se sami ne briju (jer ne brije sebe). Ako, pak, brijač brije samog sebe, onda on ne brije one i samo one koji sami sebe ne briju (jer, opet, ne brije sebe).

Veza između skupovne jednakosti i iskazne formule

Postoji interesantna veza između algebre skupova i algebre iskaza. naime, ako želimo provjeriti tačnost neke skupovne jednakosti tada skupovima A,B,C,... pridružimo iskaze p,q,r,...,jednakosti skupova pridružimo ekvivalenciju iskaza,a podskupu pridružujemo implikaciju iskaza, presjeku skupova pridružimo konjukciju iskaza, uniji skupova pridružimo disjunkciju iskaza, komplemenu skupa pridružimo negaciju iskaza. Tako skupovnu jednakost prevedemo u njoj ekvivalentnu iskaznu formulu, a zatim pomoću tabele istinitosti provjerimo dali je dobijena iskazna formula tautologija ili ne.

Također pogledajte

• Niz
• Taksonomija