Sabiranje

Sabiranje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih ukupno ima. Sabirati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovce u snu (sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi).

3 + 2 = 5 sa jabukama, popularnim primjerom u školama^[1]

Matematički sabiranje je predstavljamo znakom plus +, npr. :${\displaystyle 1+2=3}$. Brojeve koje sabiremo nazivamo pribrojnici.

Sabiranje je komutativno, što znači da je :${\displaystyle 1+2=2+1}$ , tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat sabiranja se neće promijeniti.

Sabiranje je i asocijativno, jer vrijedi :${\displaystyle (1+2)+3=1+(2+3)}$

Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots +x_{n-1}+x_{n},}$

što znači da sabiramo prvih n članova niza, od x₁ do x_n. Zbir članova Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina, bez brojeva ne bi bilo matematike.

Notacija i terminologija

Znak plus

Sabiranje se zapisuje korištenjem znakom plus "+" koji se stavlja između dva člana koji se sabiru, to jest, u infiksnoj notaciji. Rezultat se izražava sa znakom jednakosti. Na primjer,

${\displaystyle 1+1=2}$ (verbalno, "jedan plus jedan jednako je dva")

${\displaystyle 2+2=4}$ (verbalno, "dva plus dva jednako je četiri")

${\displaystyle 5+4+2=11}$ (pogledajte "asocijativnost" ispod)

${\displaystyle 3+3+3+3=12}$ (pogledajte "množenje" ispod)

Osobine

Komutativnost

4 + 2 = 2 + 4 sa blokovima

Sabiranje je komutativno, što znači da članovi, koji se sabiru, mogu, međusobno, zamijeniti mjesta, a da rezultat ostane nepromijenjen. Simbolički, ako su a i b dva broja, tada vrijedi

${\displaystyle a+b=b+a}$

Asocijativnost

2+(1+3) = (2+1)+3 sa segnetntovanim štapovima

Još jedna osobina sabiranja je asocijativnost, koju dobijamo kada pokušamo definisati uzastopno sabiranje više članova sume. Da li bi izraz

${\displaystyle a+b+c}$

trebao biti definisan kao

${\displaystyle (a+b)+c}$ ili :${\displaystyle a+(b+c)}$

Činjenica da je sabiranje asocijativno govori nam da je odabir definicije nebitan. Za bilo koja tri broja a, b i c, važi da je

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

Na primjer

${\displaystyle (1+2)+3)=2+3=6=1+5=1+(2+3)}$ .

Nisu svi operatori asocijativni, tako da u izrazima sa ostalim operatorima, kao što je dijeljenje, važno je naznačiti redoslijed operacija.

Neutralni elemenat

Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utiče na taj broj; taj realni broj se naziva neutral, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom ${\displaystyle 0}$ i zove „nula“:

${\displaystyle \exists 0\in R,\forall x\in R,x+0=x}$

Inverzni elemenat

Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav „suprotni“ broj nekog broja naziva se njegovim inverznim elementom:

${\displaystyle \forall x\in R,\exists {-x},x+(-x)=0}$

Uopćeno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definirano.

Naprimjer

sabiranje nad skupom cijelih brojeva ne zadovoljava uslove 3. i 4., sabiranje nad skupom ordinala ne zadovoljava uslove 1. i 4., itd.

Tablica sabiranja

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Napomene

1. From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."

Reference

Historija

• Bunt, Jones, and Bedient (1976). The historical roots of elementary mathematics. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389015-5.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Ferreirós, José (1999). Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Birkhäuser. ISBN 0-8176-5749-5.
• Kaplan, Robert (2000). The nothing that is: A natural history of zero. Oxford UP. ISBN 0-19-512842-7.
• Karpinski, Louis (1925). The history of arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Schwartzman, Steven (1994). The words of mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English. MAA. ISBN 0-88385-511-9.
• Williams, Michael (1985). A history of computing technology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389917-9.

Elementarna matematika

• Davison, Landau, McCracken, and Thompson (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-435817-1.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• F. Sparks and C. Rees (1979). A survey of basic mathematics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-059902-5.

Obrazovanje

• Begle, Edward (1975). The mathematics of the elementary school. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004325-6.
• California State Board of Education mathematics content standards Arhivirano 28. 12. 2005. na Wayback Machine Adopted December 1997, accessed December 2005.
• D. Devine, J. Olson, and M. Olson (1991). Elementary mathematics for teachers (2e izd.). Wiley. ISBN 0-471-85947-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Academy Press. ISBN 0-309-06995-5. Arhivirano s originala, 8. 6. 2007. Pristupljeno 4. 3. 2009. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Van de Walle, John (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (5e izd.). Pearson. ISBN 0-205-38689-X.

Spoznajna nauka

• Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills. str. 75. ISBN 0-8058-3155-X. Upotreblja se zastarjeli parametar |booktitle= (pomoć)
• Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X.
• Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective. str. 60. ISBN 0-89859-171-6. Upotreblja se zastarjeli parametar |booktitle= (pomoć)
• Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills. str. 3. ISBN 0-86377-816-X. Upotreblja se zastarjeli parametar |booktitle= (pomoć)

Matematička ekspozicija

• Bogomolny, Alexander (1996). "Addition". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Pristupljeno 3. 2. 2006. Nepoznati parametar |dateformat= zanemaren (pomoć)
• Dunham, William (1994). The mathematical universe. Wiley. ISBN 0-471-53656-3.
• Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics. Science Research Associates. ISBN 0-574-19115-1.
• Linderholm, Carl (1971). Mathematics made difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1.
• Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult. Teachers College Press. ISBN 0-8077-4242-2.
• Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics (3e izd.). Wadsworth. ISBN 0-8185-0352-1.

Napredna matematika

• Bergman, George (2005). An invitation to general algebra and universal constructions (2.3e izd.). General Printing. ISBN 0-9655211-4-1.
• Burrill, Claude (1967). Foundations of real numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95.
• D. Dummit and R. Foote (1999). Abstract algebra (2e izd.). Wiley. ISBN 0-471-36857-1.
• Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory. Academic Press. ISBN 0-12-238440-7.
• Lee, John (2003). Introduction to smooth manifolds. Springer. ISBN 0-387-95448-1.
• Martin, John (2003). Introduction to languages and the theory of computation (3e izd.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232200-4.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis (3e izd.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.

Matematičko istraživanje

• Akian, Bapat, and Gaubert (2005). "Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem". INRIA reports.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• J. Baez and J. Dolan (2001). "From Finite Sets to Feynman Diagrams". Mathematics Unlimited— 2001 and Beyond. str. 29. ISBN 3-540-66913-2. Upotreblja se zastarjeli parametar |booktitle= (pomoć)
• Litvinov, Maslov, and Sobolevskii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing Arhivirano 3. 2. 2013. na: Archive.today, Kluwer.
• Loday, Jean-Louis (2002). "Arithmetree". J. Of Algebra. 258: 275. doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. Arhivirano s originala, 3. 5. 2015. Pristupljeno 4. 3. 2009.
• Mikhalkin, Grigory (2006). "Tropical Geometry and its applications". To appear at the Madrid ICM.
• Viro, Oleg (2000). Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper. (HTML) Plenary talk at 3rd ECM, Barcelona.

Računarstvo

• M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design. Wiley. ISBN 0-471-41209-0.
• P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics (2e izd.). Cambridge UP. ISBN 0-521-37095-7.
• Jackson, Albert (1960). Analog computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3.
• T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.