From Wikipedia, the free encyclopedia
U matematici, Cauchyjev granični uvjet nametnut običnim ili parcijalnim diferencijalnim jednačinama specificira obje vrijednosti, rješenje diferencijalne jednačine na granici domena i derivacije pravca na granicama. Ovaj uvjet odgovara nametanju Dirichletovog i Neumannovog graničnog uvjeta. Dobio je naziv po francuskom matematičaru iz 19. vijeka, Augustinu Louisu Cauchyju.
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Cauchyjev granični uvjet može se razumjeti pomoću teorije drugog reda, obične diferencijalne jednačine, gdje, da bismo imali određeno rješenje, moramo imati specifične vrijednosti funkcije i vrijednost derivacije u datoj početnoj ili graničnoj tački, npr.
i
gdje je granična ili početna tačka.
Cauchyjevi granični uvjeti su generalizacija ovih vrsta uvjeta. Prisjetimo se pojednostavljenog oblika pisanja parcijalnih derivacija:
i definirajmo sada jednostavnu, parcijalnu diferencijalnu jednačinu drugog reda:
Imamo dvodimenzionalni domen, čija je granica linija, koja se može opisati sljedećim parametarskim jednačinama:
Odavde, na sličan način, kao i za obične diferencijalne jednačine drugog reda, moramo saznati vrijednost funkcije u granicama i njenu derivaciju normale kako bismo riješili parcijalnu diferencijalnu jednačinu, tj. obje jednačine,
kao i
određene su u svakoj tački granice domena date parcijalne diferencijalne jednačine, gdje je gradijent funkcije.
Definirajmo toplotnu jednačinu u dvosprostornim dimenzijama, kako slijedi
gdje je konstantna koja se zove toplotna provodljivost, koja je specifična za materijal.
Pretpostavimo i da je takva jednačina primijenjena u regiji , koja predstavlja gornji poludisk centriran u ishodištu radijusa . Pretpostavimo da je temperatura nula na zakrivljenom dijelu granice, dok je pravolinijski dio granice izoliran. Definiramo Cauchyjev granični uvjet kao
i
Možemo koristit razdvajanje varijabli smatrajući funkciju sastavljenom od proizvoda prostornog i vremenskog dijela
te, primjenjujući taj proizvod u originalnoj jednačini, dobijamo
odakle slijedi
Pošto lijeva strana zavisi samo od , a desna samo od , zaključujemo da bi obje strane trebale biti jednake za istu konstantu
To nas vodi do dviju jednačina: prva po prostornoj varijabli
a druga po varijabli,
Kad nametnemo granične uvjete, rješenje vremenske obične diferencijalne jednačine jeste
gdje je A konstanta koja bi se mogla definirati po početnim uvjetima. Prostorni dio može se riješiti ponovnim razdvajanjem varijabli, uvođenjem zamjene u parcijalnu diferencijalnu jednačinu i dijeljenjem sa , iz koje dobijamo (nakon raspodjele i uređivanja članova)
Pošto lijeva strana zavisi samo od y, a desna samo od , obje strane moraju biti jednake konstanti, recimo, ,
Tako dobijamo par običnih diferencijalnih jednačina, na koje možemo nametnuti granični uvjet koji smo prethodno definirali.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.