From Wikipedia, the free encyclopedia
U vektorskom kalkulusu, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje pravac najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.
Generalizacija gradijenta, za funckije u Banachovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijanska matrica i determinanta. Ovaj koncept je imenovan po njemačkom matematičaru Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju.
Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem , tako da je u svakoj tački temperatura (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smjer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.
Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smjeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Naprimjer, ako je ugao između ceste u pravca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.
Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije po vaktorskoj varijabli se označava kao ili gdje je (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka se, također, koristi za označavanje gradijenta.
Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije . To jest:
Skalarni proizvod gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.
Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski integrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnog teorema. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.
Oblik gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.
U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na
U cilindričnim koordinatama:
(gdje je azimutalni ugao, a je osna koordinata).
U sfernim koordinatama:
(gdje je azimutalni ugao, a je zenitni ugao).
Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama
je:
Gradijent funkcije iz Euklidovog prostora u i bilo kojoj tački x0 u karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:
za koje je blizu , gdje je gradijent funkcije f izračunat u , gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.