Apstraktna algebra

Apstraktna ili osnovna algebra je disciplina matematike koja se bavi primjenom logike za građenje formalne osnove za matematiku. Današnja se algebra može gledati kao pokušaj uopćavanja već milenijumima poznatih osobina brojeva i aritmetičkih operacija (sabiranja, oduzimanja, množenja, i dijeljenja) uz njih, a i postavljanjem istih već poznatih pravila na tvrdi temelj u današnoj formalnoj logici.

Historija

Formalna algebra počinje u 18. vijeku. U to vrijeme Leonhard Euler pokreće svoje sistematsko istraživanje svojstava brojeva, posebno prostih brojeva. Njegovi su rezultati postali osnovom discipline teorije brojeva. Kasnije se, u bližim istraživanjima poopćenih algebarskih struktura, pokazalo da prosti brojevi igraju vodeću ulogu, jer je puno tih struktura u svojim osnovnim crtama identično malom broju "osnovnih", koje proizlaze iz dijeležnih svojstava cijelih brojeva.

Veliki doprinos algebri dao je mladi francuski genije Evariste Galois, koji je prvi sistematski uveo pojam grupe. Njegov je rad doprinio slavljenom teoremu o nerješivosti jednačina stepena višeg od 5 pomoću radikala i četiri aritmetičke operacije.

Od vremena Galoisa pa do naših dana, moderna algebra je prošla dugu evoluciju. Danas se algebra koristi u teoretskoj fizici, u informatici te kao osnova za izgradnju ostalih ogranaka matematike, kao što su analiza, geometrija, kombinatorika i teorija brojeva.

Strukture algebre

Algebra se bavi istraživanjem skupova i funkcija koje su definirane uz njih. Najčešće se posmatraju binarne funkcije (s dva argumenta) i skupovi koji se odlikuju sa zatvorenošću u odnosu na dotičnu operaciju. Pod binarnom operacijom ${\displaystyle \circ }$ podrazumijevamo preslikavanje koje svakom uređenom paru ${\displaystyle (x,y)\in G\times G}$ argumenata pridružuje element ${\displaystyle \circ (x,y)\in G}$ iz polaznog skupa, i označavamo sa ${\displaystyle \circ :G\times G\rightarrow G}$. U praksi se ovaj pristup pokazao kao veoma koristan, jer se dobar broj n-arnih operacija induktivno može definisati upravo preko binarnih operacija.

(Primjer zatvorenog skupa u odnosu na operaciju: sabiranje na skupu prirodnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Primjer nezatvorenog skupa u odnosu na operacije: oduzimanje na istom skupu (jer, naprimjer, 1 - 1 nije veći broj od 0, makar i 1 i 3 jesu).

Osnovni značaj apstraktne algebre leži u tome što njeni zaključci vrijede za proizvoljne skupove koji posjeduju određene osobine.

Osnovne algebarske strukture

Pod algebarskom strukturom podrazumijevamo neprazan skup G i jednu ili više binarnih operacija na tom skupu. Najprostiji primjer algebarske strukture je grupoid, i to je uređeni par ${\displaystyle (G,\circ )}$ nepraznog skupa G i binarne operacije ${\displaystyle \circ }$ na tom skupu.

• Za element ${\displaystyle e'\in G}$ kažemo da je lijevi neutralni element grupoida ako i samo ako je ${\displaystyle \forall (x\in G)\,e'\circ x=x}$.
• Za element ${\displaystyle e''\in G}$ kažemo da je desni neutralni element grupoida ako i samo ako je ${\displaystyle \forall (x\in G)\,x\circ e''=x}$.
• Za element ${\displaystyle e\in G}$ kažemo da je neutralni element grupoida ako i samo ako je ${\displaystyle \forall (x\in G)\,e\circ x=x\circ e=x}$.

Za binarnu operaciju ${\displaystyle \circ }$ kažemo da je

• asocijativna, ako i samo ako ${\displaystyle \forall (a,b,c\in G)}$ vrijedi jednakost: ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$
• komutativna, ako i samo ako ${\displaystyle \forall (a,b\in G)}$ vrijedi jednakost: ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$

Za grupoid ${\displaystyle (G,\circ )}$ kažemo da je komutativan ako i samo ako je operacija ${\displaystyle \circ }$ komutativna.

Grupoid ${\displaystyle (G,\circ )}$ nazivamo polugrupom ako i samo ako je operacije ${\displaystyle \circ }$ asocijativna.

Ako je ${\displaystyle (G,\circ )}$ polugrupa sa neutralnim elementom ${\displaystyle e}$, onda za element ${\displaystyle a\in G}$ kažemo da posjeduje lijevi inverzni element ako i samo ako postoji element ${\displaystyle a'\in G}$ takav da je ${\displaystyle a'\circ a=e}$, a za element ${\displaystyle a\in G}$ kažemo da posjeduje desni inverzni element ako i samo ako postoji element ${\displaystyle a''\in G}$ takav da je ${\displaystyle a\circ a''=e}$.

Za element ${\displaystyle a\in G}$ kažemo da je invertibilan ako i samo ako postoji element ${\displaystyle b\in G}$ takav da je ${\displaystyle a\circ b=b\circ a=e}$, i u tom slučaju element b nazivamo inverznim elementom elementa a.

Jedna od najvažnijih algebarskih struktura je tzv. grupa. Za polugrupu G kažemo da je grupa ako i samo ako posjeduje neutralni element u odnosu na binarnu operaciju i ako je svaki element iz G invertibilan.

Podkategorija grupa su tzv. Abelove grupe. Za grupu G kažemo da je komutativna ili Abelova grupa, ako i samo ako je binarna operacija nad skupom G komutativna.

Za algebarsku strukturu G kažemo da je konačna, ako i samo ako je G konačan skup.

Pod asocijativnim prstenom ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ podrazumijevamo neprazan skup R sa dvije binarne operacije + i ${\displaystyle \cdot }$ koje zovemo sabiranje i množenje respektivno, takve da vrijedi:

• (R,+) je aditivna Abelova grupa
• ${\displaystyle (R,\cdot )}$ je multiplikativna polugrupa
• Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje, tj.

${\displaystyle \forall (a,b,c\in R)\,a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

${\displaystyle \forall (a,b,c\in R)\,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

Za prsten R kažemo da je komutativan, ako je množenje komutativno. Prsten sa jedinicom je prsten R u kojem multiplikativna polugrupa ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ima neutralni element, i isti nazivamo jedinicom prstena ili jediničnim elementom prstena. Prsten R sa jedinicom čiji nenulti elementi formiraju multiplikativnu grupu zove se tijelo. Komutativno tijelo zove se polje.

Primjeri algebarskih stuktura

Postoji mnoštvo primjera algebarskih struktura. Nama svima poznati skupovi prirodnih (${\displaystyle \mathbb {N} }$), cijelih (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), racionalnih (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), realnih (${\displaystyle \mathbb {R} }$) ili kompleksnih (${\displaystyle \mathbb {C} }$) brojeva zajedno sa operacijama sabiranja i množenja nad istima su samo primjeri nekih od algebarskih struktura.

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ je polugrupa u odnosu na operaciju sabiranja ali nije grupa jer skup prirodnih brojeva ne posjeduje neutralni element u odnosu na sabiranje prirodnih brojeva
• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ je polugrupa sa neutralnim elementom u odnosu na operaciju množenja ali nije grupa jer skoro ni jedan prirodan broj ne posjeduje inverzni element u odnosu na množenje (osim jedinice)
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ je Abelova grupa odnosu na operaciju sabiranja, ali nije grupa u odnosu na operaciju množenja jer skoro ni jedan cijeli broj ne posjeduje inverzni element u odnosu na množenje
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ su sve primjeri grupa u odnosu na množenje
• Skup svih permutacija nepraznog skupa X predstavlja grupu u odnosu na slaganje preslikavanja
• Skup svih automorfizama vektorskog prostora predstavlja grupu u odnosu na slaganje preslikavanja
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$ predstavlja prsten u odnosu na operacije sabiranja i množenja cijelih brojeva
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}$, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$, ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\cdot )}$ su polja