Lopta (matematika)

U matematici, lopta jeste prostor unutar sfere. Može biti zatvorena lopta (uključujući granične tačke sfere) ili otvorena lopta (ako se tačke ne uzmu u obzir).

U Euklidskom prostoru, lopta se nalazi unutar sfere

Ovi koncepti su definirani ne samo 3D Euklidskim prostorom, nego i također nižim i višim dimenzijama, kao i metričkim prostorima općenito. Lopta sa n dimenzija se zove n-lopta i ograničena je sa n-sferom. Tako, naprimjer, lopta u Euklidskoj ravni je ista stvar kao i krug, područje okruženo kružnicom. U Euklidskom 3D prostoru, lopta se uzima kao zapremina ograničena 2D sfernom ljuskom.

U drugim kontekstima, kao u Euklidskoj geometriji i svakodnevnoj upotrebi, sfera se nekad izjednačava sa pojmom lopta.

Lopte u Euklidskom prostoru

U euklidskom n-prostoru, (otvorena) n-lopta poluprečnika r i centra x jeste skup svih tačaka udaljenosti < r od x. Zatvorena n-lopta poluprečnika r jeste skup svih tačaka udaljenosti ≤ r od x.

U Euklidskom n-prostoru, svaka lopta je unutrašnjost hipersfere (hiperlopta), koja je ograničena intervalom kada je n = 1, interijer kružnice (krug) kada je n = 2, i interijer sfere kada je n = 3.

Zapremina

Glavni članak: Zapremina n-lopte

n-dimenzionalna zapremina Euklidske lopte radijusa R u n-dinmenzionalnom prostoru je:^[1]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

gdje je Γ Eulerova gama funkcija (koja se može smatrati kao daljnja razrada faktorijelske funkcije za frakcijske argumente). Koristeći eksplicitne formule za partikularne vrijednosti gama funkcije za cijele brojeve i polubrojeve daje se formula zapremine Euklidske lopte koja ne zahtijeva evaluaciju gama funkcije. One su:

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}$

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}$

U formuli za neparno dimenzionalne vrijednosti, dupli faktorijel (2k + 1)!! je definiran za neparne cijele brojeve 2k + 1 kao (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1).

Također pogledajte

• Lopta, općenito značenje
• Krug
• Formalna lopta
• Susjednost (matematika)

Reference

1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker Arhivirano 25. 2. 2012. na Wayback Machine
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber ^{[mrtav link]}