Триангулация

Триангулацията е метод в тригонометрията и елементарната геометрия, за определяне на разстоянието до обекти, като се използва геометрията на триъгълниците.

За намиране на разстоянието от брега до кораба се използва методът на триангулацията. Наблюдателите в α и β измерват разстоянието между тях и ъглите между брега и кораба. За изчисляване на разстоянието d се използва дължината l и ъглите α и β.

Триангулачна мрежа в областите Валенсия и Каталуния в Испания

Веха (пирамида) на триангулачна точка в Германия

При метода на триангулацията разстоянието до дадена точка се изчислява, като се измери разстоянието между две референтни точки и ъглите между обекта и правата, образувана от тези точки. При този метод търсеното разстояние е височина в триъгълник, образуван от дадената точка и другите две известни референтни точки. За определяне на това разстояние се използват синусовата, косинусовата и Питагоровата теореми, както и свойството, че сумата на ъглите в триъгълниците е 180°, с което е възможно прилагането на известни тригонометрични зависимости. Така например разстоянието от брега до кораба при известни ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle {\alpha }}$, ${\displaystyle {\beta }}$ може да се изчисли с формулата:

${\displaystyle l={\frac {d}{\tan \alpha }}+{\frac {d}{\tan \beta }}}$,

откъдето

${\displaystyle d=l\,/\,({\tfrac {1}{\tan \alpha }}+{\tfrac {1}{\tan \beta }})={\frac {l}{\mathrm {cotg} \,\alpha +\mathrm {cotg} \,\beta }}}$

Триангулацията е използвана за първи път 600 г. пр.н.е. в Древна Гърция от Талес за изчисляване разстоянието от брега до кораб в морето. Този метод се използва и днес в много области като геодезията, топографията, навигацията, астрономията, метрологията и др.

Триангулачни точки в геодезията

Веха на триангулачна точка в Нидерландия

Измерването за установяване разположението на отделни елементи от земния релеф и ситуация може да се извърши чрез създаването на топографски планове и карти. Тяхното създаване изисква наличието на опорни точки с точно определено взаимно положение върху една приета проекционна равнина. Когато площите са твърде големи (напр. територията на България), тези точки се наричат триангулачни (тригонометрични) точки. Триангулацията е метод в геодезията, посредством който определянето на координатите на точки от повърхността на земята се осъществява чрез свързването им в мрежа от триъгълници, наричана триангулачна (тригонометрична) мрежа. Така с понятието триангулация в геодезията се обхваща дейността по полагане, сигнализиране, измерване и изчисление на координати и височини на точките от тази мрежа.^[1]

Идеята за създаването на триангулацията е дадена от холандеца Снелиус (Snellius) през 1617 г. Той полага мрежа от триъгълници, за да определи дължината на дъга от меридиан и така да се изчисли размера на земята. Реализирането на триангулацията почива на известните тригонометрични закони и възможността лесно и точно да се измерят ъглите в една мрежа от триъгълници. При измерването на ъглите и точно измерване на една страна (наричана база) с линейни измервателни средства, последователно се изчисляват страните на триъгълниците, а след това и правоъгълните координати в приета равнинна правоъгълна координатна система.

За реализирането на точна геодезическа опорна мрежа е приет принципа „от голямото към малкото“, т.е. изработва се триангулачна мрежа с възможно най-дълги страни и покриваща територията на България. Обикновено страните в триангулачната мрежа са от 2 до 25 km.

Триангулачна мрежа

Схема на триангулачна мрежа в Германия

Триангулачна мрежа на Индия – схема, създадена през 1870 г.

Създаването на триангулачни точки с най-дълги страни в мрежата оформят триангулачна мрежа I клас. В тази мрежа се включват точките от триангулачните мрежи II, III, IV, V, VI клас. Така за сметка на приемлива точност с по-ниско разрядната триангулачна мрежа се достига до гъстота от 0,8 до 1,5 km помежду им, което е достатъчно за създаване на едромащабни планове 1:2000, 1:1000, 1:500. Триангулацията I, II и III клас се нарича държавна триангулация. Тя е основната. Триангулацията от по-нисък клас е второстепенна и се нарича местна (в някои страни се нарича кадастрална).

Определянето на триангулачните точки в мрежата се определя чрез т. нар. геодезически засечки – засечка напред (наричана още права засечка), странична засечка, засечка назад и засечка по Ханзен или Ханзенова задача. Всички тези методи за определяне координати теоретично са разработени и позволяват постигане на високоточно изчисление на положение и височина.

Триангулачните точки се използват като опорни при различни видове геодезични измервания, за създаване на опорни полигонови мрежи, така широко приложими при всички методи за измерване и създаване на топографски карти и планове.

Триангулачните точки от триангулачната мрежа се маркират трайно върху земната повърхност, в т. ч. с полагането на маркер и под земята, в случай че бъде премахнат видимия каменен или бетонен блок над земята. Над тях се монтира стабилна дървена или метална веха, популярна още с наименованието пирамида. Средната ѝ вертикална част е поставена точно над центъра, маркиран с дупка върху каменното блокче и с отвес, поставена точно вертикално, за да позволи визирането от далечно разстояния. Габаритите ѝ се описват в карнет, за да се ползва вертикалният ъгъл от измерването и за височинна оценка по метода за тригонометрична нивелация.

Triangulation

Математическа основа за изчисления в геодезията

Теорията на триангулацията се използва при създаването на опорната мрежа в геодезията. На практика с т. нар. геодезически засечки, от точките върху земната повърхност A, B и C може да се визират хоризонталните и вертикалните ъгли между трите точки и точно да се дефинират хоризонталните ъгли ${\displaystyle {\alpha }}$, ${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\gamma }}$, а страната AB приета за база, да се измери със стандартни средства за линейни измервания. Измерването на вертикалните (зенитни) ъгли служи за определяне на надморските височини на разглежданите триангулачни точки. С това се реализира т. нар. тригонометрична нивелация.

Разстоянието RC може да се изчисли с прилагането на синусовата теорема чрез ъглите и страна в един триъгълник:

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{BC}}={\frac {\sin \beta }{AC}}={\frac {\sin \gamma }{AB}}}$

При измерено и известно AB, то AC и BC ще бъдат:

${\displaystyle AC={\frac {AB\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }}\qquad BC={\frac {AB\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }}}$

RC може да се изчисли като се използва sin функция на ъгъл α, и sin на ъгъл β:

${\displaystyle RC=AC\cdot \sin \alpha \qquad }$

${\displaystyle \qquad RC=BC\cdot \sin \beta }$

или

${\displaystyle RC={\frac {AB\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin \gamma }}}$

Като се знае, че сумата на ъглите в един триъгълник е 180°, то ъгъл γ = 180 − α − β. Като се знае, че sin(γ)=sin(α+β), то формулата ще има вида:

${\displaystyle RC={\frac {AB\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}$

В тази формула може да се използва тригонометричната зависимост sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Други зависимости

Разстоянието MC от средната точка C на правата AB, както и разстоянието MR, се определят с използването на Питагоровата теорема.

${\displaystyle MR=AM-RB=\left({\frac {AB}{2}}\right)-\left(BC\cdot \cos \beta \right)}$

${\displaystyle MC={\sqrt {MR^{2}+RC^{2}}}}$

Вижте също

• Трилатерация
• Геодезия
• Геодезически полигон

Източници

1. „Хр. Дечев, УАСГ“. "Работна геодезическа основа" // с. 2-12. Архивиран от оригинала на 2017-11-15. Посетен на 2017-11-29.

• Пеевски, проф. инж. Васил Ц., проф. д-р инж. Михаил Ив. Венедиков, Геодезия, Държавно издателство „Техника“, София, 1966
• Бакалов, доц. к.т.н. инж. Паско М., и др., Ръководство за упражнения по геодезия, Издателство „Техника“, София, 1991

Общомедия

Общомедия разполага с мултимедийно съдържание за

Триангулация.