Косинусова теорема

Косинусовата теорема в геометрията гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Разглежда се триъгълник ${\displaystyle ABC}$ със страни ${\displaystyle AB=c}$, ${\displaystyle BC=a}$ и ${\displaystyle CA=b}$ (фиг. 1).

Фиг. 1. Косинусова теорема.

Тогава е в сила равенството

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \,\gamma }$

Тук, с ${\displaystyle \gamma }$ се означава ъгълът, заключен между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. За страните ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ косинусовата теорема изглежда така:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \,\alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \,\beta }$

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

${\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

${\displaystyle \cos \,\beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}}$

${\displaystyle \cos \,\gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

Доказателства

Доказателство с Питагорова теорема

Нека да разгледаме триъгълника ${\displaystyle ABC}$. От върха ${\displaystyle C}$ към страната ${\displaystyle AB}$ е спусната височината ${\displaystyle CD}$ (фиг. 2). От триъгълника ${\displaystyle ADC}$ следва:

Фиг. 2. Доказателство на косинусовата теорема.

${\displaystyle AD=b\cos \,\alpha }$,

${\displaystyle DB=c-b\cos \,\alpha }$

Питагоровата теорема за двата триъгълника ${\displaystyle ADC}$ и ${\displaystyle BDC}$ се записва във вида

${\displaystyle {\begin{cases}h^{2}=b^{2}-(b\cos \,\alpha )^{2}\\h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \,\alpha )^{2}\end{cases}}}$.

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

${\displaystyle b^{2}-(b\cos \,\alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \,\alpha )^{2}}$.

След опростяване се получава

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \,\alpha }$.

Доказателство с вектори

Въвеждат се базисните вектори ${\displaystyle {\overrightarrow {CB}}={\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}}}$.

Нека ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}}$. По правилото за изваждане на вектори се получава:

${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}$

След повдигане на квадрат се достига до равенството ${\displaystyle {\vec {c}}^{2}={\vec {a}}^{2}+{\vec {b}}^{2}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})}$

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че ${\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\cdot \Vert {\vec {a}}\Vert \cdot \Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})}$

С това теоремата е доказана.

Вижте също

• Триъгълник
• Тригонометрична функция
• Триангулация
• Синусова теорема
• Тангенсова теорема
• Котангенсова теорема