Подмножество

В математиката, множеството A е подмножество на множеството B (или B е надмножество на A), ако всички елементи на A са също и елементи на B. Това означава също, че всяко множество е подмножество на самото себе си.

Ойлерова диаграма, показваща A като строго подмножество на B, A⊂B

Връзката на подмножеството определя частична подредба. Подмножествата на дадено множество образуват булева алгебра чрез тази връзка, в която могат да се изразяват сечение и обединение.

Определение

Ако A и B са множества и всеки елемент от A е също и елемент от B, тогава

• A е подмножество на B, обозначавано с ${\displaystyle A\subseteq B,}$ или еквивалентно
• B е надмножество на A, обозначавано с ${\displaystyle B\supseteq A}$.

Ако A е подмножество на B, но A не е равно на B (тоест съществува поне един елемент на B, който не е елемент на A), тогава

• A е собствено (или строго) подмножество на B, обозначавано с ${\displaystyle A\subsetneq B,}$ или еквивалентно
• B е собствено (или строго) надмножество of A, обозначавано с ${\displaystyle B\supsetneq A}$.

За всяко множество S, връзката на инклузия ⊆ е частична подредба върху множеството ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ от всички подмножества на S, определени от ${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$. Възможно е и частичната подредба на ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ чрез обратна инклузия, определяйки ${\displaystyle A\leq B\iff B\subseteq A}$.

Когато се изразява количествено, A ⊆ B се представя като ∀x(x ∈ A → x ∈ B).^[1]

Свойства

• Множеството A е подмножество на B тогава и само тогава, когато тяхното пресичане е равно на A.

Формално:

${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A.}$

• Множеството A е подмножество на B тогава и само тогава, когато тяхното обединение е равно на B.

Формално:

${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B.}$

• Крайното множество A е подмножество на B тогава и само тогава, когато кардиналността на тяхното пресичане е равна на кардиналността на A.

Формално:

${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow |A\cap B|=|A|.}$

Източници

1. Rosen, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications. 7. New York, McGraw-Hill, 2012. ISBN 978-0-07-338309-5. с. 119.