Статистика на Бозе-Айнщайн

Статистиката на Бозе—Айнщайн описва разпределението на частиците между квантовите състояния на система от невзаимодействащи неразличими бозони.

Серия статии на тема Статистическа физика

Формализъм Ергодична хипотеза ⋅ микросъстояние/макросъстояние ⋅ Статистическа сума ⋅ Матрица на плътността Статистически ансамбли микроканоничен ⋅ каноничен ⋅ голям каноничен Квантови статистики Максуел-Болцман ⋅ Тъждественост ⋅ Ферми-Дирак ⋅ Фермион ⋅ Бозе-Айнщайн ⋅ Бозон Потенциали Вътрешна енергия ⋅ Свободна енергия на Хелмхолц ⋅ Свободна енергия на Гибс ⋅ Енталпия ⋅ Свободна енталпия ⋅ Ентропия Газове от частици Изроден ферми-газ ⋅ Бозе-Айнщайнова кондензация ⋅ Закон на Планк Известни модели Айнщайн ⋅Дебай ⋅ Изинг ⋅ Гинзбург-Ландау Физици Келвин ⋅ Максуел ⋅ Гибс ⋅ Болцман ⋅ Планк ⋅ Паули ⋅ Дирак ⋅ Бозе ⋅ Айнщайн

Вълновата функция на система от бозони е симетрична относно размяната на частици. Поради тази симетрия бозоните не се подчиняват на принципа на Паули: в дадено квантово състояние може да има неограничен брой бозони от един и същи вид.

Статистиката на Бозе—Айнщайн изразява средния брой бозони, които заемат дадено квантово състояние на системата при дадени температура и химичен потенциал. Тя е въведена от Сатиендра Бозе през 1924 г., който я прилага върху фотони, а по-късно е обобщена от Алберт Айнщайн. ^[1].

Средният брой частици в квантовото състояние ${\displaystyle k}$ е:

${\displaystyle {\overline {n_{k}}}={\frac {1}{e^{(\epsilon _{k}-\mu )/k_{B}T}-1}}}$,

където ${\displaystyle \epsilon _{k}}$ e енергията на квантовото състояние, ${\displaystyle \mu }$ e химичният потенциал, ${\displaystyle k_{B}}$ е константата на Болцман, а ${\displaystyle T}$ е абсолютната температура.

Понеже неравенството ${\displaystyle {\overline {n_{k}}}\geq 0}$ трябва да е изпълнено за всички ${\displaystyle k}$, включително за основното състояние, стойността на химичния потенциал трябва да е по-малка от енергията ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ на основното състояние на системата:

${\displaystyle \mu <\epsilon _{0}}$.

Нулевото ниво на енергията може да се избере произволно, затова често се прави изборът ${\displaystyle \epsilon _{0}\equiv 0}$. В такъв случай горното ограничение приема вида:

${\displaystyle \mu <0}$.

За сравнение, химичният потенциал на газ на Ферми може да бъде както положителен, така и отрицателен, а при Болцманов газ е силно отрицателен.

От формулата за ${\displaystyle {\overline {n_{k}}}}$ е видно, че с намаляване на температурата все повече частици попадат в основното състояние. При достатъчно ниска температура почти всички частици се намират в основното състояние (Бозе—Айнщайнов кондензат).

Източници

1. Lifshitz, E. M., Pitaevskii, L.P. Landau and Lifshitz Course of Theoretical Physics Vol. 5: Statistical Physics. Pergamon Press, 1980. ISBN 0-08-023039-3. с. 159.