Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца
або
. Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні
і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні
пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да
.
Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні
, з імавернасцямі
, дзе
, то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш
(адсюль назва).
Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.
Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега
Няхай зададзена прастора імавернасцей
і азначаная на ёй выпадковая велічыня
. То бок, паводле азначэння,
— вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад
па прасторы
, то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца
або
:
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,dP(\omega ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b56afcbb0ec461307c77ebdc1b114372fec28b3)
Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны
, кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання[1]:111.
Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)
Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю
, роўнае[1]:112
.
- Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
![{\displaystyle \mathbb {E} [a]=a}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b471aa432eab6dd8656039224530737a66e7f9)
— канстанта;
- Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок
,
- дзе
— выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а
— любыя канстанты;
- У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.
- Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі
амаль напэўна, і
— выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні
таксама канечнае, і больш за тое:
.
- Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі
амаль напэўна, то
.
- Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь
роўнае здабытку іх матспадзяванняў
.
- Для ўсякай барэлеўскай[en] і інтэгравальнай па меры
функцыі[заўв 1]
матэматычнае спадзяванне
існуе і роўнае[1]:113
![{\displaystyle \mathbb {E} [\varphi (X)]=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)dF_{X}(x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fde5652ab0a80c01e747d411cdad3478c25bf56)
Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем
Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні
, азначанай на прасторы імавернасцей
з канечным матспадзяваннем
, справядліва няроўнасць:
, дзе
.
Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай
— прастора імавернасцей,
— азначаная на ёй выпадковая велічыня,
— выпуклая барэлеўская функцыя, такія што
, тады
.
Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем
- Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
- Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць
На практыцы гэтыя ўмовы часта выконваюцца.