У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.
У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі у пункце вызначаецца наступным чынам:
Абазначэнне
Варта звярнуць увагу, што абазначэнне трэба разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: дзе — частковы дыферэнцыял функцыі па зменнай . Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне ў выразе [1].
Геаметрычная інтэрпрэтацыя
Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі у пункце па каардынаце роўная вытворнай па напрамку , дзе адзінка стаіць на k-ым месцы.
Прыклады
Аб’ём V конуса залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай
Частковая вытворная аб’ёму V адносна радыуса r
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб’ёму , а вымярэнні даўжыні , то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб’ёму , г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб’ёму конуса на .
Частковая вытворная адносна h
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.
Поўная вытворная V адносна r і h
і
Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.
Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конуса застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне s,
Гэта дае поўную вытворную адносна r:
Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.
Зноскі
- Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.