Функцыя (матэматыка)

Фу́нкцыя — адно з асноўных паняццяў у матэматыцы, якое выражае залежнасць адных пераменных велічынь ад другіх.

Графік функцыі
${\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}$.

Функцыяна́льная зале́жнасць між дзвюма велічынямі — такая залежнасць, калі пры змене аднае (незалежнай) велічыні адназначным чынам змяняецца другая (залежная) велічыня. Такім чынам, функцыянальная залежнасць ставіць кожнаму значэнню x незалежнай велічыні не больш аднаго значэння y залежнай велічыні. Тэрмінам «функцыя» пераважна карыстаюцца ў дачыненні да абазначэння лікавых суадносін, у астатніх выпадках — спецыяльнымі тэрмінамі (адлюстраванне, пераўтварэнне, аператар, функцыянал, вектар-функцыя і інш.).

У найпрасцейшым выпадку, калі велічыні — сапраўдныя лікі, функцыя вызначаецца як адпаведнасць ліку y зададзенаму ліку x, што абазначаецца y=f(x), дзе x — незалежная пераменная (аргумент), y — залежная пераменная (функцыя). Паняцці «залежнай» і «незалежнай» велічынь з'яўляюцца ў значнай ступені ўмоўнымі.

Функцыя можа быць вызначана як бінарная адносіна між дзвюма мноствамі ${\displaystyle ~\mathrm {f} \subseteq X\times Y}$, у якой кожнаму элементу x мноства X адпавядае адзін элемент y мноства Y такі, што y=f(x).

• ${\displaystyle ~\mathrm {f} :X\mapsto Y\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f} =\{\langle x,y\rangle |\quad \langle x,y\rangle \in X\times Y\quad \land \quad y=f(x)\}}$

• ${\displaystyle ~\mathrm {f} :X\mapsto Y\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f} \subseteq X\times Y\quad \land \quad \mathrm {f} \neq \varnothing \quad \land \quad \forall _{x\ \in \ X}\ \exists _{y\ \in \ Y}\ (y=f(x))}$

• ${\displaystyle ~\mathrm {f} :X\mapsto Y\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f} \subseteq X\times Y\quad \land \quad \mathrm {f} \neq \varnothing \quad \land \quad \forall x\ (x\in X\ \to \ f(x)\in Y)}$

Функцыя можа быць зададзена аналітычна (з дапамогай адной ці больш формул), дзе ўстаноўлены вылічальныя аперацыі над x для атрымання значэння y. Абсягам (вобласцю) вызначэння функцыі лічыцца сукупнасць значэнняў x, для якіх дапушчальнае выкананне аперацый, прыведзеных у формулах. Часам функцыя задаецца на словах, напр., функцыя Дзірыхле роўная 1, калі x — рацыянальны лік, і роўная 0, калі x — ірацыянальны ліх. Пашыраны таксама графічны (гл. графік, графічныя вылічэнні) і таблічны (гл. матэматычныя табліцы) спосабы задання функцый.

Гл. таксама

• Лінейная функцыя
• Квадратычная функцыя
• Адваротная функцыя
• Манатонная функцыя
• Няяўная функцыя
• Перыядычная функцыя
• Разрыўныя функцыі
• Спецыяльныя функцыі
• Элементарныя функцыі

Літаратура

• Гусак А. А. Функцыя // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 16: Трыпалі — Хвіліна / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2003. — Т. 16. — 576 с. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0263-6 (т. 16).

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Функцыя (матэматыка)
• Мікралекцыі па функцыі Архівавана 23 студзеня 2013.. Акадэмія Хан. (англ.)
• Функцыя(недаступная спасылка). Энцыклапедыя матэматыцы. (англ.)
• Функцыя. MathWorld. (англ.)
• xFunctions. Java-аплет для вывучэння функцыі графічным спосабам.
• Draw Function Graphs. Анлайнавая праграма пабудовы графікаў функцый.