Сферычная сістэма каардынат

Сферычную сістэму каардынат зручна вызначаць, суадносячы з дэкартавай прамавугольнай сістэмай каардынат (гл. малюнак):

Кропка ${\displaystyle P}$ мае тры дэкартавых і тры сферычных каардынаты

Сферычнымі каардынатамі называюць сістэму каардынат для адлюстравання геаметрычных уласцівасцей фігуры ў трох вымярэннях з дапамогай заданні трох каардынат ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, где ${\displaystyle r}$ - адлегласць да пачатку каардынат, а ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ - зенітны і азімутальны вугал адпаведна.

Паняцці зеніт і азімут шырока выкарыстоўваюцца ў астраноміі. Наогул зеніт - гэта напрамак вертыкальнага ўздыму над адвольна абраным пунктам (пунктам назірання) або плоскасцю, у якой ляжыць гарызонт, або плоскасцю экліптыкі і г. д., што спараджае розныя сістэмы нябесных каардынат. Азімут - вугал паміж адвольна абраным прамянём фундаментальнай плоскасці з пачаткам у пункце назірання і іншым прамянём гэтай плоскасці, якія маюць агульны пачатак з першым.

У дачыненні да нашага малюнку сферычнай сістэмы каардынат, фундаментальная плоскасць — гэта плоскасць XY. Зеніт - нейкая аддаленая кропка, якая ляжыць на восі Z і бачная з пачатку каардынат. Азімут адлічваецца ад восі X да праекцыі радыус-вектара r на плоскасць XY. Гэта тлумачыць назвы вуглоў, як і тое, што сферычная сістэма каардынат можа служыць абагульненнем (хай хоць бы і набліжаным) мноства відаў сістэм нябесных каардынат.

Азначэнні

Тры каардынаты ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ вызначана як:

• ${\displaystyle r\geqslant 0}$ — адлегласць ад пачатку каардынат да зададзенай кропкі ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$ — вугал меж воссю ${\displaystyle Z}$ і адрэзкам, які злучае пачатак каардынат і кропку ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}$ — вугал меж воссю ${\displaystyle X}$ і праэкцыяй адрэзка, які злучае пачатак каардынат з кропкай ${\displaystyle P}$, на плоскасць ${\displaystyle XY}$ (у ЗША вуглы ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ мяняюцца месцамі.

Вугал math>\theta</math> называецца зенітным, або палярным, ці нармальным, а таксама ён можа быць названы англійскім словам colatitude, а вугал ${\displaystyle \varphi }$ - азымутальным. Вуглы ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ не маюць значэння пры ${\displaystyle r=0}$, а ${\displaystyle \varphi }$ не мае значэння пры ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ (то ёсць пры ${\displaystyle \theta =0}$ ці ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$).

Залежна ці незалежна ад стандарту ISO 31-11, існуе і такое пагадненне або канвенцыя (англ.: {{{1}}} convention), калі замест зенітнага вугла ${\displaystyle \theta }$, выкарыстоўваецца вугал паміж праекцыяй радыус-вектара пункту r на плоскасць xy і самім радыус-вектарам r, роўны ${\displaystyle 90^{\circ }}$ — ${\displaystyle \theta }$. Ён называецца вуглом уздыму і можа быць пазначаны той жа літарай ${\displaystyle \theta }$. У гэтым выпадку ён будзе зменяцца ў межах ${\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}$.

Тады вуглы ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ не маюць значэння пры ${\displaystyle r=0}$, так як і ў першаму выпадку, а ${\displaystyle \varphi }$ не мае значэння пры ${\displaystyle \cos(\theta )=0}$, (ужо пры ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }}$ або ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$).

Пераход да іншых сістэм каардынат

• Дэкартава сістэма каардынат
  • Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да дэкартавых здзейсняецца па формулам:

    ${\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

  • Зваротна, ад дэкартавых да сферычных:

    ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos \left({\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right).\end{cases}}}$

    • (тут, вядома, патрабуецца пэўнае натуральнае ўдакладненне для значэнняў ${\displaystyle \varphi }$ па-за першым актантам; таксама для ўсіх формул з арктангенсам тут і ніжэй; зрэшты, замена на адпаведную формулу з арккосінусам здымае гэтае пытанне ў дачыненні да каардынаты ${\displaystyle \theta }$).
  • Якабіян ператварэнні ад дэкартавых да сферычных:

    ${\displaystyle J=r^{2}\sin \theta .\ }$

• Цыліндрычная сістэма каардынат
  • Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да цыліндрычным ажыццяўляецца па формулах:

    ${\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

  • Зваротна ад цыліндрычных да сферычных:

    ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\rho }{z}}\right),\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}$

  • Якабіян ператварэнні ад сферычных да цыліндрычных:

    ${\displaystyle J=r.\ }$

Гл. таксама

• Сістэма нябесных каардынат
• Цыліндрычная сістэма каардынат
• Палярная сістэма каардынат

Літаратура

• Сферы́чная сістэ́ма каардына́т // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 303. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).
• Сферы́чнаыя каардына́ты // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 334. — 496 с.: іл. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.

Спасылкі

• Сферическая система координат // Конев В. В. Скалярные и векторные поля (руск.) на карпаратыўным партале Томскага політэхнічнага ўніверсітэта
• Weisstein, Eric W.. Сферычныя каардынаты (нявызн.). MathWorld.

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Сферычная сістэма каардынат