Гама-функцыя

Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама Γ(z).

Гама-функцыя
Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай
Першаадкрывальнік	Леанард Эйлер[1]
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left(z\right)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$[2][3]
Пазначэнне ў формуле	${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (z)}$, ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ і ${\displaystyle \mathrm {e} }$
Generalization of	фактарыял
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці

Для натуральных n справядліва роўнасць:

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла:

${\displaystyle \Gamma (t)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x}\,dx.}$

Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

Азначэнні

Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай

Інтэгральнае азначэнне

Калі рэчаісная частка камплекснага ліку ${\displaystyle z}$ дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

${\displaystyle ~\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C}$ :\mathrm {Re} (z)>0}

На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

${\displaystyle ~\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}$

Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

${\displaystyle ~\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi {\mathrm {z} }}-1}}\int \limits _{L}\!t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

дзе контур ${\displaystyle L}$ — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт ${\displaystyle t=0}$ супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

Азначэнне па Гаусу

Яно вернае для ўсіх камплексных ${\displaystyle z}$, за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

Азначэнне па Эйлеру

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\left(\prod \limits _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{z}{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}^{-1}\right)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

Азначэнне па Веерштрасу

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \},}$

дзе ${\displaystyle \gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722}$ — пастаянная Эйлера — Маскероні.

Заўвагі

• Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна, калі рэчаісная частка камплекснага ліку ${\displaystyle z}$ дадатна.
• Прымяняючы інтэграванне па частках, можна паказаць, што тоеснасць

  ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

справядліва для падынтэгральнага выразу.

• Паколькі ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, для ўсіх натуральных лікаў ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)=\ldots =n!\cdot \Gamma (1)=n!}$

• ${\displaystyle \Gamma (z)}$ з’яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах ${\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots }$

Звязаныя азначэнні

• Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:

  ${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}$

• У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:

${\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }{t^{a-1}e^{-t}\,dt},}$

і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:

${\displaystyle \gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }{t^{a-1}e^{-t}\,dt}.}$

Уласцівасці

Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.

• Формула дапаўнення Эйлера:

  ${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}.}$

• З яе вынікае формула памнажэння Гауса^be_en:

  ${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\ldots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),}$

• якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:

  ${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!}$

• Гама-функцыя мае полюс у ${\displaystyle z=-n}$ для любога натуральнага ${\displaystyle n}$ і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:

  ${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=-n}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$

• Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных ${\displaystyle z}$, акрамя недадатных цэлых лікаў:

  ${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{z/k},}$

дзе ${\displaystyle \gamma }$ — пастаянная Эйлера — Маскероні.

• Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:

  ${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})}$.

• Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і

  ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x),}$

дзе ${\displaystyle \psi (x)}$ часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.

• Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:

  ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

Асобныя значэнні

• Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:

  ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}$

  ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{3/2}}{AGM({\sqrt {2}},1)}}},}$

  дзе AGM(x, y) — сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае  (англ.) лікаў x і y.

  ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$

  ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}$

  ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}$

Гл. таксама

• Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера
• K-функцыя
• G-функцыя Барнса
• Бэта-функцыя
• Гама-размеркаванне
• Няпоўная гама-функцыя
• Формула Стырлінга

Зноскі

1. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/19/
2. http://dlmf.nist.gov/5.2.E1
3. 2-20.2 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — ISO, 2019. — 36 с.

   <a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q109490582'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q15028'></a>