Артаганальная група

Артаганальная група — група ўсіх лінейных пераўтварэнняў ${\displaystyle n}$-мернай вектарнай прасторы ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle k}$, якія захоўваюць фіксаваную невыраджаную квадратычную форму ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle V}$ (гэта значыць такіх лінейных пераўтварэнняў ${\displaystyle \varphi }$, што ${\displaystyle Q(\varphi (v))=Q(v)}$ для любога ${\displaystyle v\in V}$).

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Абазначэнні і звязаныя вызначэнні

• Элементы артаганальнай групы называюцца артаганальнымі (адносна ${\displaystyle Q}$) пераўтварэннямі ${\displaystyle V}$, а таксама аўтамарфізмамі формы ${\displaystyle Q}$ (дакладней, аўтамарфізмамі прасторы ${\displaystyle V}$ адносна формы ${\displaystyle Q}$).
• Абазначаецца ${\displaystyle O_{n}}$, ${\displaystyle O_{n}(k)}$, ${\displaystyle O_{n}(Q)}$ і т. п. Калі квадратычная форма не абазначана відавочна, то маецца на ўвазе форма, якая задаецца сумай квадратаў каардынат, г. зн. якая выражаецца адзінкавай матрыцай.
• Над полем рэчаісных лікаў, артаганальная група незнакавызначай формы з сігнатурай (${\displaystyle l}$ плюсаў, ${\displaystyle m}$ мінусаў) дзе ${\displaystyle n=l+m}$, абазначаецца O(${\displaystyle l}$,${\displaystyle m}$.

Уласцівасці

• У выпадку, калі характарыстыка асноўнага поля больш за два, то з ${\displaystyle Q}$ звязана невыраджаная сіметрычная білінейная форма ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle V}$, якая выражаецца формулай

• ${\displaystyle F(u,\;v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v).}$

Тады артаганальная група складаецца ў дакладнасці з тых лінейных пераўтварэнняў прасторы ${\displaystyle V}$, якія захоўваюць ${\displaystyle F}$, і абазначаецца праз ${\displaystyle O_{n}(k,\;F)}$ або (калі ясна аб якім полі ${\displaystyle k}$ і форме ${\displaystyle F}$ ідзе гаворка) проста праз ${\displaystyle O_{n}}$.

• Калі ${\displaystyle B}$ — матрыца формы ${\displaystyle F}$ ў нейкім базісе прасторы ${\displaystyle V}$, то артаганальная група можа быць атаясамлена з групай ўсіх такіх матрыц ${\displaystyle A}$ з каэфіцыентамі ў ${\displaystyle k}$, што

• ${\displaystyle A^{T}BA=B.}$

  У прыватнасці, калі базіс такі, што ${\displaystyle Q}$ з'яўляецца сумай квадратаў каардынат (гэта значыць, матрыца ${\displaystyle B}$ адзінкавая), то такія матрыцы ${\displaystyle A}$ называюцца артаганальнымі.

• Над полем рэчаісных лікаў, група ${\displaystyle O_{n}({\mathbb {R} },\;V)}$ кампактная тады і толькі тады, калі форма ${\displaystyle Q}$ знакавызначана.

Іншыя групы

Артаганальная група з'яўляецца падгрупай поўнай лінейнай групы GL(${\displaystyle n}$). Элементы артаганальнай групы, вызначнік якіх роўны 1 (гэта ўласцівасць не залежыць ад базісу), утвараюць падгрупу — спецыяльную артаганальную групу ${\displaystyle SO(n,Q)}$, якая абазначае гэтак жа як і артаганальную групу але з даданнем літары «S». ${\displaystyle SO(n,Q)}$, па пабудове, з'яўляецца таксама падгрупай спецыяльнай лінейнай групы ${\displaystyle SL(n)}$.

Гл. таксама

• Група Лі
• Тапалагічная група