Координаталар системаһы — координаталар ысулын координаталары тип атала.
Тура мөйөшлө координаталар системаһы Математикала координаталар — билдәле бер атластың ниндәйҙер картаһында төрлөлөк нәктәләренә ярашлы ҡуйылған һандар йыйылмаһы.
Элементар геометрияла координаталар — нөктәнең яҫылыҡта һәм арауыҡта урынын билдәләүсе дәүмәлдәр. Яҫылыҡта нөктәнең урыны йышыраҡ, бер нөктәлә (координаталар башында) тура мөйөш яһап киҫешкән ике тура һыҙыҡтан (координаталар күсәрҙәренән) алыҫлыҡтар менән билдәләнә; координаталарҙың береһе ордината тип, ә икенсеһе — абсцисса тип атала. Арауыҡта Декарт системаһында нөктәнең урыны, бер нөктәлә бер-береһе менән тура мөйөш яһап киҫешкән өс координаталар яҫылыҡтарынан алыҫлыҡтар, йәки координаталар башы сфераның үҙәгендә урынлашҡан сферик координаталар менән билдәләнә.
Географияла координаталар (яҡынса ) сферик координаталар системаһындағы кеүек алыналар — киңлек , оҙонлоҡ һәм билдәле бер дөйөм кимәлдән (мәҫәлән, океан кимәленән) бейеклек . Ҡарағыҙ Географик координаталар .
Астрономияла күк йөҙө координаталары — улар ярҙамында күк йөҙө сфераһында яҡтыртҡыстарҙың һәм ярҙамсы нөктәләрҙең урынын билдәләй торған, тәртипкә килтерелгән мөйөшсә дәүмәлдәр пары (мәҫәлән, тура күтәрелеш һәм ауышлыҡ ). Астрономияла күк йөҙө координаталарының төрлө системаларын ҡулланалар. Асылда уларҙың һәр береһе, ярашлы рәүештә һайлап алынған фундаменталь яҫылығы һәм иҫәпләү башы булған сферик координаталар системаһы (радиаль координатаһыҙ). Фундаменталь яҫылыҡты һайлауға бәйле, күк йөҙө координаталар системаһы горизонталь (горизонт яҫылығы), экваториаль (экватор яҫылығы), эклиптик (эклиптика яҫылығы) йәки галактик (галактика яҫылығы) тип атала.
Иң күп ҡулланылған координаталар системаһы — тура мөйөшлө координаталар системаһы (шулай уҡ Декарт координаталар системаһы булараҡ билдәле).
Яҫылыҡта һәм арауыҡта координаталарҙы сикһеҙ күп төрлө ысулдар менән индерергә мөмкин. Теге йәки был математик йәки физик мәсьәләне координаталар ысулы менән сығарғанда, бирелгән конкрет осраҡта мәсьәлә ҡайһыһында ябайыраҡ йәки уңайлыраҡ сығарыла, шуныһын һайлап, төрлө координаталар системаһын ҡулланырға мөмкин. Координаталар системаһының билдәле дөйөмләштерелеүе булып, иҫәп системаһы һәм референция системалары тора.
Был бүлектә элементар математикала киң ҡулланылыусы координаталар системаларына аңлатма бирелә
Полярные координаты. Яҫылыҡта ҡулланылған поляр координаталар системаһында P r = |OP|радиус-векторының Ox φ мөйөшө менән билдәләнә.
Арауыҡта дөйөмләштерелгән поляр координаталар — цилиндрик һәм сферик координаталар системаһы ҡулланыла.
Цилиндрик координаталар. Төп мәҡәлә: Цилиндриик координаталар системаһы
Цилиндрик координаталар — поляр координаталарҙың өс үлсәмле аналогы, унда P
(
r
,
φ
,
z
)
{\displaystyle (r,\varphi ,z)}
0
⩽
r
{\displaystyle 0\leqslant {r}}
радиус ) — z P
0
⩽
φ
<
360
∘
{\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}
азимут йәки оҙонлоҡ) — x P xy
z
{\displaystyle z}
P z Иҫкәрмә: әҙәбиәттә беренсе (радиаль) координата өсөн ҡайһы берҙә ρ тамғаланышы ҡулланыла, икенсе (мөйөшсә, йәки азимуталь) — θ тамғаланышы, өсөнсө координата өсөн — h Поляр координаталарҙың бер етешһеҙлеге бар: r = 0φ ҡиммәте билдәһеҙ.
Цилиндрик координаталар күсәргә ҡарата симметрик системаларҙы өйрәнеү өсөн файҙалы. Мәҫәлән, радиусы R z
x
2
+
y
2
=
R
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2},}
r = R
Сферик координаталар. Төп мәҡәлә: Сферик координаталар системаһы
Сферик координаталар — поляр координаталарҙың өс үлсәмле аналогы.
Сферик координаталар системаһында P
(
ρ
,
φ
,
θ
)
.
{\displaystyle (\rho ,\varphi ,\theta ).}
0
⩽
ρ
{\displaystyle 0\leqslant \rho }
P
0
⩽
φ
⩽
360
∘
{\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
x P xy
0
⩽
θ
⩽
180
∘
{\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}
z P Иҫкәрмә: әҙәбиәттә ҡайһы берҙә азимут θ тип, ә поляр мөйөш — φ тип тамғалана. Ҡайһы берҙә радиаль координата өсөн ρ урынына r z xy Сферик координаталар системаһының да етешһеҙлеге бар: әгәр ρ = 0 булһа, φ һәм θ билдәһеҙ; φ мөйөшө шулай уҡ сикләүсе ҡиммәттәр өсөн θ = 0 һәм θ = 180° (йәки θ = ±90° өсөн, был мөйөш өсөн ярашлы диапазон ҡабул ителгән осраҡта) билдәһеҙ.
P z ρ -ға тигеҙ булған киҫек һалырға, уны y x θ мөйөшөнә борорға, һәм артабан z y θ мөйөшөнә борорға кәрәк.
Сферик координаталар нөктәгә ҡарата симметрик системаларҙы өйрәнеү өсөн файҙалы. Шулай, радиусы R
x
2
+
y
2
+
z
2
=
R
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}
ρ
=
R
.
{\displaystyle \rho =R.}
Аффинлы (ҡыйыш мөйөшлө) координаталар системаһы аффинлы арауыҡта тура һыҙыҡлы координаталар системаһы. Яҫылыҡта координаталар башы О нөктәһе һәм ике тәртипкә килтерелгән коллинеар булмаған векторҙар менән бирелә, улар аффинлы базис булып торалар. Координаталар күсәрҙәре тип был осраҡта координаталар башы аша базис векторҙарына параллель үткән тура һыҙыҡтар аталалар, улар, үҙ сиратында, күсәрҙәрҙең ыңғай йүнәлешен билдәләйҙәр. Өс үлсәмле арауыҡта , ярашлы рәүештә, аффинлы координаталар системаһы һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ векторҙар өслөгө һәм координаталар башы нөктәһе менән бирелә. Ниндәйҙер М ОМ векторының базис векторҙары буйынса тарҡатмаһы коэффициенттары табыла[1] Барицентрик координаталар 1827 йылда , өсмөйөштөң түбәләрендә урынлашҡан массаларҙың ауырлыҡ үҙәге тураһында мәсьәләне хәл итеүсе А. Мебиус тарафынан индерелә. Улар аффинлы инвариантлы, дөйөм тиң координаталарҙың айырым осрағы булып торалар. Барицентрик координаталы нөктә n En векторлы арауыҡта урынлашҡан, ә асылда координаталары (n алгебраик топологияла симплекс нөктәләренә ҡарата ҡулланылалар[2] Биангуляр координаталар С 1 С 2 P PC 1 C 2 PC 2 C 1 мөйөштәре менән билдәләнә.Биполяр координаталар [3] A B әйләнәләр ғаиләһе, шулай уҡ уларға ортогональ әйләнәләр ғаиләһе сығыш яһай. Биполяр координаталарҙы Декарт тура мөйөшлө координаталарға үҙгәртеү махсус формулалар аша тормошҡа ашырыла. Биполяр координаталар арауыҡта бисферик тип аталалар; был осраҡта координаталар яҫылыҡтары булып сфералар , әйләнәләр дуғаларын өйрөлткәндә барлыҡҡа килгән йөҙҙәр, шулай уҡ Oz ярымяҫылыҡтар торалар[4] Бицентрик координаталар [5] [6] Бицилиндрик координаталар Oxy Oz цилиндрҙар ғаиләһе пары, уларға ортогональ түңәрәк цилиндрҙар ғаиләһе, шулай уҡ яҫылыҡ сығыш яһай. Бицилиндрик координаталарҙы өс үлсәмле арауыҡ өсөн Декарт тура мөйөшлө координаталарға үҙгәртеү махсус формулалар аша тормошҡа ашырыла[7] Конуслы координаталар радиустары аша бирелгән концентрик сфераларҙан һәм x z конустар ғаиләһенән торған өс үлсәмле ортогональ координаталар системаһы[8] Риндлер координаталары сағыштырмалыҡ теорияһы сиктәрендә ҡулланыла һәм яҫы арауыҡ-ваҡыттың ғәҙәттә Минковский арауығы тип аталған өлөшөн тасуирлай. Махсус сағыштырмалыҡ теорияһында тигеҙ тиҙләнешле өлөшсә гиперболик хәрәкәттә була, һәм һәр шундай өлөшсә өсөн Риндлер координаталарында, уға ҡарата өлөшсә тынлыҡ хәлендә булған, шундай иҫәпләү башы нөктәһе һайларға мөмкин.Параболалы координаталар параболалар йыйылмаһы координаталар һыҙыҡтары булып торалар. Параболалы координаталарҙың өс үлсәмле модификацияһы ике үлсәмле системаны был параболаларҙың симметрия күсәре тирәләй бороу юлы менән төҙөлә. Параболалы координаталарҙың шулай уҡ билдәле потенциаль практик ҡулланылышы спектры бар: атап әйткәндә, улар Штарк эффектына ҡарата ҡулланылырға мөмкиндәр. Параболалы координаталар тура мөйөшлө Декарт координаталары менән аныҡ нисбәт менән бәйләнгән[9] Проектив координаталар проектлы арауыҡта Пn (К К [10] Тороидаль z xy а [11] Өс һыҙыҡлы координаталар [12] Цилиндрик параболалы координаталар [13] Эллипсоидаль координаталар эллиптик координаталар . Координаталар йөҙҙәре булып был осраҡта эллипсоидтар , бер ҡыуышлы гиперболоидтар , шулай уҡ үҙәктәре координаталар башында урынлашҡан ике ҡыуышлы гиперболоидтар торалар. Система ортогональ. Эллипсоидаль координаталар булған һәр һандар өслөгөнә һигеҙ нөктә ярашлы, улар Oxyz системаһының яҫылыҡтарына ҡарата бер-береһенә симметрик[14]
Шулай уҡ ҡарағыҙ: Координаталарҙы үҙгәртеү
x
=
r
cos
φ
,
{\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,}
y
=
r
sin
φ
,
{\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,}
r
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
φ
=
arctg
y
x
+
π
u
0
(
−
x
)
sgn
y
,
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,}
бында u 0 Хевисайд функцияһы ,
u
0
(
0
)
=
0
,
{\displaystyle u_{0}(0)=0,}
sgn — функция signum . Бында u 0 sgn функциялары, ҡиммәттәре буйынса, программалау телендә «әгәр .. ул саҡта» операторҙарына оҡшаш «логик» күсергестәр кеүек ҡулланылалар (if…else). Программалауҙың ҡайһы бер телдәрендә махсус функциялар atan2 (y x x y квадрантта дөрөҫ φ -не яңынан барлыҡҡа килтерәләр.
x
=
r
cos
φ
,
{\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,}
y
=
r
sin
φ
,
{\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,}
z
=
z
.
{\displaystyle z=z.\quad }
r
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
φ
=
arctg
y
x
+
π
u
0
(
−
x
)
sgn
y
,
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,}
z
=
z
.
{\displaystyle z=z.\quad }
(
d
x
d
y
d
z
)
=
(
r
cos
θ
−
r
sin
φ
0
r
sin
θ
r
cos
φ
0
0
0
1
)
⋅
(
d
r
d
φ
d
z
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},}
(
d
r
d
φ
d
z
)
=
(
x
x
2
+
y
2
y
x
2
+
y
2
0
−
y
x
2
+
y
2
x
x
2
+
y
2
0
0
0
1
)
⋅
(
d
x
d
y
d
z
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}
x
=
ρ
sin
θ
cos
φ
,
{\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad }
y
=
ρ
sin
θ
sin
φ
,
{\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad }
z
=
ρ
cos
θ
;
{\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;\quad }
ρ
=
x
2
+
y
2
+
z
2
,
{\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}
θ
=
arccos
z
ρ
=
arctg
x
2
+
y
2
z
,
{\displaystyle {\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},}
φ
=
arctg
y
x
+
π
u
0
(
−
x
)
sgn
y
.
{\displaystyle {\varphi }=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y.}
(
d
x
d
y
d
z
)
=
(
sin
θ
cos
φ
ρ
cos
θ
cos
φ
−
ρ
sin
θ
sin
φ
sin
θ
sin
φ
ρ
cos
θ
sin
φ
ρ
sin
θ
cos
φ
cos
θ
−
ρ
sin
θ
0
)
⋅
(
d
ρ
d
θ
d
φ
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},}
(
d
ρ
d
θ
d
φ
)
=
(
x
/
ρ
y
/
ρ
z
/
ρ
x
z
ρ
2
x
2
+
y
2
y
z
ρ
2
x
2
+
y
2
−
(
x
2
+
y
2
)
ρ
2
x
2
+
y
2
−
y
x
2
+
y
2
x
x
2
+
y
2
0
)
⋅
(
d
x
d
y
d
z
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}
r
=
ρ
sin
θ
,
{\displaystyle {r}=\rho \,\sin \theta ,}
φ
=
φ
,
{\displaystyle {\varphi }=\varphi ,\quad }
z
=
ρ
cos
θ
;
{\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;}
ρ
=
r
2
+
z
2
,
{\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},}
θ
=
arctg
z
r
+
π
u
0
(
−
r
)
sgn
z
,
{\displaystyle {\theta }=\operatorname {arctg} {\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatorname {sgn} z,}
φ
=
φ
.
{\displaystyle {\varphi }=\varphi .\quad }
(
d
r
d
φ
d
h
)
=
(
sin
θ
ρ
cos
θ
0
0
0
1
cos
θ
−
ρ
sin
θ
0
)
⋅
(
d
ρ
d
θ
d
φ
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},}
(
d
ρ
d
θ
d
φ
)
=
(
r
r
2
+
z
2
0
z
r
2
+
z
2
−
z
r
2
+
z
2
0
r
r
2
+
z
2
0
1
0
)
⋅
(
d
r
d
φ
d
z
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}&0&{\frac {z}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-z}{r^{2}+z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}.}
Географик координаталар системаһы Ер шары йөҙөнөң теләһә ниндәй нөктәһен, цифрлы-хәрефле тамғалауҙар йыйылмаһы ярҙамында, идентификациялау мөмкинлеген тәьмин итә. Ҡағиҙә булараҡ, координаталар шулай итеп билдәләнә, күрһәткестәрҙең береһе вертикаль буйынса торошто билдәләй, ә икенсеһе йәки башҡаларының йыйылмаһы — горизонталь буйынса торошто. Традицион географик координаталар йыйылмаһы — киңлек , оҙонлоҡ һәм бейеклек [15]
Ер өҫтөндәге нөктәнең киңлеге, экватор яҫылығы менән был нөктә аша, формаһы буйынса яҡынса Ер менән тап килгән, база эллипсоиды йөҙөнә нормаль рәүешендә үткән тура һыҙыҡ араһындағы мөйөш булараҡ билдәләнә. Был тура һыҙыҡ ғәҙәттә Ер үҙәгенән бер нисә километрҙа үтә, полюстар һәм экватор осрағынан башҡа (был осраҡтарҙа ул туранан-тура үҙәк аша үтә). Бер үк киңлектең нөктәләрен тоташтырыусы һыҙыҡтар параллелдәр тип аталалар. Киңлектең 0°-ы экватор яҫылығына тап килә, Ерҙең Төньяҡ полюсы төньяҡ киңлектең 90°-на ярашлы, Көньяҡ — ярашлы рәүештә, көньяҡ киңлектең 90°-на ярашлы. Үҙ сиратында, Ер өҫтөндәге нөктәнең оҙонлоғо төп меридиандан был нөктә аша үтеүсе икенсе меридианға көнсығыш йәки көнбайыш йүнәлештәге мөйөш һымаҡ билдәләнә. Бер үк оҙонлоҡтоң нөктәләрен тоташтырыусы меридиандар, полюстарҙа ҡушылған ярымэллипстарҙан ғибәрәт. Гринвичтә (Лондонға яҡын) король обсерваторияһы аша үтеүсе меридиан нуленсе меридиан тип һанала. Бейеклек Ер шарының абстрактлы арауыҡ рәүеше булып торған геоидтың шартлы йөҙөнән иҫәпләнә.
Галилей координат Гаусс координаталары Нормаль координаталар Риман координаталары Координаталар башы , координаталар күсәре , орт Тынлыҡтың локаль стандарты (астрономияла координаталар башы)Главноортодромическая система координат Арауыҡ үлсәнеше Афинлы үҙгәртеүҙәр
Пархоменко А. С. Аффинная система координат. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
Скляренко Е. Г. Барицентрические координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
Долгачев И. В., Псковских В. А. Биполярные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
Соколов Д. Д. Бицилиндрические координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
Войцеховский М. И. Проективные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
Соколов Д. Д. Эллипсоидальные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
