Raíz cuadrada

En matemátiques, el raíz cuadrada d'un númberu ${\displaystyle x}$, representada por ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$, ye aquel númberu ${\displaystyle y}$ qu'al ser multiplicáu por sigo mesmu da como resultáu'l valor ${\displaystyle x}$. Esto ye, cumple la ecuación ${\displaystyle y^{2}=x}$.^[1]

Raíz cuadrada
multivalued function on the complex plane (en) , función multivaluada (es) , función matemática, función matemática y problema computacional (es)
radicación (es)

El raíz cuadrada corresponder cola radicación d'índiz 2 o, equivalentemente, cola potenciación d'esponente 1/2.

Cualquier númberu real non negativu ${\displaystyle x}$ tien un únicu raíz cuadrada positiva o raíz cuadrada principal^[2] y denotada como ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ onde ${\displaystyle {\sqrt {\;}}}$ ye'l símbolu raigañu y ${\displaystyle x}$ ye'l aniciando.

Cuando se riquir denotar dos raigaños cuadraos una negativa, ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$, y otra positiva, ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$, suelen denotarse curioso como ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$ o bien como ${\displaystyle \mp {\sqrt {x}}}$ según l'orde precisáu.

El conceutu de raíz cuadrada puede estendese a cualquier aniellu alxebraicu, asina ye posible definir el raíz cuadrada d'un númberu real negativu o'l raíz cuadrada de delles matrices. Nos númberos cuaterniónicos los reales negativos almiten un númberu infinitu de raigaños cuadraos, sicasí'l restu de cuaterniones distintos de cero almiten solu dos raigaños cuadraos. Nel aniellu non conmutativu de les funciones reales de variable real cola adición y la composición de funciones si fºf = g, puede plantegase que f ye la "raíz cuadrada" de g.^[3]

Historia

Los raigaños cuadraos son espresiones matemátiques que surdieron al plantegar diversos problemes xeométricos como'l llargor de la diagonal d'un cuadráu. El Papiru d'Ahmes datáu hacia 1650 e. C., que copia testos más antiguos, amuesa cómo los exipcios estrayíen raigaños cuadraos.^[4]

Na historia de la India antigua India, la conocencia d'aspeutos teóricos y aplicaos del cuadráu y el raíz cuadrada foi siquier tan antiguu como los Sulba Sutras, fechaos ente'l 500 y el 300 e. C. Un métodu p'atopar bien bonos aproximamientos a los raigaños cuadraos de 2 y 3 ye dau nel Baudhayana Sulba Sutra.^[5] Aryabhata (476-550) nel so tratáu Aryabhatiya (seición 2.4), dio un métodu p'atopar el raíz cuadrada de númberos con dellos díxitos.

Los babilonios averaben raigaños cuadraos faciendo cálculos por aciu la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, tratar de construyir una socesión ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ dada por:^[6]

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\frac {a}{a_{n}}}\right).}$

Puede demostrase qu'esta socesión matemática converxi ${\displaystyle a_{n}\to {\sqrt {a}}}$ (como valor inical ${\displaystyle a_{0}}$ puede tomase con bonu aproximamientu l'enteru más cercanu al valor del raíz cuadrada). Los raigaños cuadraos fueron unu de los primeros desarrollos de les matemátiques, siendo particularmente investigaes mientres el periodu pitagóricu, cuando'l descubrimientu de que la raíz cuadrada de 2 yera irracional (inconmensurable) o non expresable como cociente dalgunu, lo que supunxo un finxu na matemática de la dómina.

Primeramente amosaron la so utilidá pal resolución de problemes trigonométricos y xeométricos, como la diagonal d'un cuadráu o'l teorema de Pitágores. Darréu fueron ganando utilidá pa operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundu grau o superior, y son na actualidá una de les ferramientes matemátiques más elementales.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, diz alrodiu de la situación esistente:

"N'Europa esos métodos (p'atopar el cuadráu y el raíz cuadrada) nun apaecieron antes de Cataneo (1546). Él dio'l métodu d'Ariabhata pa determinar el raíz cuadrada".^[7]

Pietro Antonio Cataldi calculó en 1613 el raíz cuadrada averando por fracciones continues, como apaez na obra común Historia de la matemática de Julio Rey Pastor y José Babini.

El símbolu del raíz cuadrada ${\displaystyle ({\sqrt {\ }})}$ foi introducíu en 1525 pol matemáticu Christoph Rudolff pa representar esta operación,^[8][9] qu'apaez nel so llibru Coss, el primer tratáu d'álxebra escritu en alemán vulgar. El signu nun ye más qu'una forma estilizada de la lletra r minúscula pa faela más elegante^{[ensin referencies]}, allargar con un trazu horizontal, hasta adoptar l'aspeutu actual, que representa la pallabra llatina radix, que significa raigañu. Tamién se conxetura que pudiera surdir de la evolución del puntu que n'ocasiones s'usaba enantes pa representalo, onde darréu se -y añadió un trazu oblicuu na direición del aniciando.

Darréu foise ampliando la definición de raíz cuadrada. Dellos matemáticos vieron la necesidá d'escurrir númberos que representaren el raíz cuadrada de númberos reales negativos pa poder resolver toles ecuaciones de segundu grau, pero nun va ser hasta 1777 cuando Euler simbolizara'l raíz cuadrada de –1 cola lletra i. La xeneralización de la función raíz cuadrada d'éstos da llugar al conceutu de los númberos imaxinarios y al cuerpu de los númberos complexos, daqué necesariu por que cualesquier polinomiu tenga tolos sos raigaños (teorema fundamental de la álxebra).^[10] La diagonalización de matrices tamién dexa'l cálculu rápidu del raigañu d'una matriz.

Función raigañu cuadrada

La gráfica de la función ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ye una semiparábola con directriz vertical.

El raíz cuadrada dexa definir una función real que'l so dominio y imaxe ye'l conxuntu ${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$ (el conxuntu de tolos númberos reales non negativos). Pa cada númberu real x esta función defínese como l'únicu númberu non negativu y qu'eleváu al cuadráu ye igual a x. Consiste en topar el númberu del que se conoz el so cuadráu. La función raíz cuadrada de x espresar de les siguiente manera:

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

Usualmente el raíz cuadrada d'un númberu enteru nun ye un númberu racional nun siendo que'l númberu enteru sía un cuadráu perfectu, como por casu:

${\displaystyle {\sqrt {16}}=4,\quad {\sqrt {64}}=8,\quad {\sqrt {144}}=12}$

yá que:

${\displaystyle 16=4\times 4=4^{2},\quad 64=8\times 8=8^{2},\quad 144=12\times 12=12^{2}}$

La función raíz cuadrada, polo xeneral, tresforma númberos racionales en númberos alxebraicos; ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ye racional si y namái si x ye un númberu racional que puede escribise como fracción de dos cuadraos perfectos. Si'l denominador ye ${\displaystyle 1^{2}=1\,}$, entós trátase d'un númberu natural. Sicasí, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ye irracional.

El descubrimientu de que'l raíz cuadrada de munchos númberos yera un númberu irracional atribuyir a los pitagóricos. Los babilonios y exipcios yá disponíen de medios d'envalorar numbéricamente'l raíz cuadrada, pero'l so interés paez ser eminentemente práuticu polo que nun paecen esistir referencies sobre la naturaleza del raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser espresada como cociente de dos númberos enteros.

La interpretación xeométrica ye que la función raíz cuadrada tresforma la superficie d'un cuadráu na llargor del so llau.

Propiedaes xenerales

Gráfica de la ecuación: ${\displaystyle y^{2}=x}$ o tamién ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}$ (como función multivaluada).

Les siguientes propiedaes del raíz cuadrada son válides pa tolos númberos reales non negativos x, y:

${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\qquad {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}$

Con notación esponencial:

${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}.}$

y tamién la equivalencia:

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{si }}x\geq 0\\-x,&{\text{si }}x<0\end{cases}}}$ onde ${\displaystyle x}$ ye un númberu real.

Suponga que ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle a}$ son númberos reales cumpliendo la ecuación ${\displaystyle x^{2}=a}$ y deseyar atopar ${\displaystyle x}$. Un error bien común ye «tomar el raíz cuadrada» y deducir que ${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$. Esto ye incorreutu, porque'l raíz cuadrada de ${\displaystyle x^{2}}$ nun ye ${\displaystyle x}$, sinón el so valor absolutu, ${\displaystyle |x|}$, d'alcuerdu a la regla descrita enantes. Depués entós, tou lo que puede concluyise ye que ${\displaystyle \left|x\right|={\sqrt {a}}}$, o equivalentemente ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}}$. Esta doble posibilidá pa ${\displaystyle x}$ deber a que la función valor absolutu nun ye una función inyectiva, polo que puede haber dos elementos distintes del dominiu, ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$, con una mesma imaxe. Nesti casu, la imaxe ye ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$, y los elementos del dominiu a los que-yos correspuende dicha imaxe son ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ y ${\displaystyle -{\sqrt {a}}}$.

La función ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ye continua pa tolos númberos non negativos ${\displaystyle x}$ y derivable pa tolos númberos positivos ${\displaystyle x}$ (nun ye derivable pa ${\displaystyle x=0}$ una y bones la pendiente de la tanxente ende ye infinita). La so derivada ta dada por

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$

La serie de Taylor de ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$ en redol a x = 0 y converxente pa |x| ≤ 1 puede atopase usando'l teorema del binomiu:

${\displaystyle {\sqrt {x+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots }$

En cálculu, cuando se prueba que la función raíz cuadrada ye continua o derivable, o cuando se calculen ciertos Llende d'una función llendes, la siguiente igualdá ye bien útil (consiste en multiplicar y estremar pol conxugáu, vease binomiu conxugáu):

${\displaystyle {\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}}$

y ye válida pa tolos númberos non negativos x y y que nun sían dambos cero.

Irracionalidá de los raigaños cuadraos

Una propiedá importante del raíz cuadrada de los númberos enteros ye que, si estos nun son cuadraos perfectos, los sos raigaños son siempres númberos irracionales, que son númberos non expresables como'l cociente de dos númberos enteros. Esto ye, el raíz cuadrada d'un númberu enteru siempres va ser enteru o irracional, nunca un númberu racional non enteru.

Cualquier númberu enteru pue ser espresáu como'l productu d'una serie de factores primos elevaos a diversos esponentes. De ser toos pares, les propiedaes de la potenciación dexen amenorgar el raigañu a un númberu natural. Namái si unu o más de los factores tien un esponente impar el raigañu nun ye natural.

Si ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ fora racional tendría de podese espresar como ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ con p, q enteros y primos ente sigo. Alzando al cuadráu dambes partes llógrase que ${\displaystyle n={\tfrac {p^{2}}{q^{2}}}}$, lo que ye absurdu, pos a un llau queda siquier un factor primu con esponente impar ente que, al otru llau de la igualdá, tantu ${\displaystyle p^{2}}$ como ${\displaystyle q^{2}}$ espresar en función de productu de primos elevaos a esponentes necesariamente pares.

Por un amenorgamientu al absurdu llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidá de la raíz cuadrada de 2, atribuyida a Hipaso de Metaponto, un discípulu de Pitágores. La idea, contraria a esperar na matemática d'entós, supunxo la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.

Sicasí, ye esautamente'l llargor de la diagonal d'un cuadráu que'l so llau mide 1, siendo fácil la construcción gráfica del raigañu. Por ello bona parte de la matemática helénica centrar na xeometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ési. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva'l so nome, que dexa representar gráficamente cualquier raigañu, y darréu Euclides llegó a un métodu más xeneral.

Radicales xerarquizaos cuadraos

Artículu principal: Radical xerarquizáu

En distintos contestos utilícense radicales de la forma

${\displaystyle {\sqrt {A+{\sqrt {B}}}}}$

qu'en dellos casos puede ser escritos na forma

${\displaystyle {\sqrt {A+2{\sqrt {B}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}$

lo que ye facederu si namái si x + y = A, xy = B .^[11][12] Les espresiones anteriores denominar radicales xerarquizaos.

La identidá ${\displaystyle 2={\sqrt {2+2}}}$ implica que ${\displaystyle 2={\sqrt {2+{\sqrt {2+2}}}}}$, y por repeticiones socesives:

${\displaystyle 2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}$

Por razones análogues llógrase:

${\displaystyle 3={\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+\cdots }}}}}}}}}$;

o que

${\displaystyle 4={\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+\cdots }}}}}}}}}$;

Si r ye una entidá puramente cimera a unu,

${\displaystyle r={\sqrt {r(r-1)+{\sqrt {r(r-1)+{\sqrt {r(r-1)+{\sqrt {r(r-1)+\cdots }}}}}}}}}$

Esta forma d'espresar númberos por aciu la repetición socesiva de númberos conteníos dientro de raigaños cuadraos puede tener diverses aplicaciones como la resolución de dellos tipos d'ecuación o la espresión de dellos númberos famosos como'l númberu áureo o'l númberu pi.^[13]

Fracciones continues

Artículu principal: Fracción continua

Unu de los resultaos más interesantes del estudiu de númberos irracionales como fracciones continues foi llográu por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange afayó que'l raíz cuadrada de cualquier númberu enteru positivu ensin cuadrar puede representase por una fracción continua periódica, esto ye, onde asocede ciertu patrón de díxitos repetidamente nos denominadores. Nun sentíu estos raigaños cuadraos son númberos irracionales muncho más simples, porque pueden ser representaes con un patrón de díxitos de repetición simple.

${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}\,}$.

Aproximamientos enteros

L'aproximamientu de raigaños cuadraos a númberos enteros ye común en ciertos problemes matemáticos, como la peñerada de Eratóstenes qu'avera nos sos cálculos el raíz cuadrada al mayor enteru tal que'l so cuadráu sía menor que'l valor del raigañu. Los aproximamientos pueden ser por defectu — usando la función trío — o por escesu — usando la función techo—. Les primeres daes por defectu:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...	15	16	17	...	24	25	26	27	28
${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	...	3	4	4	...	4	5	5	5	5

Una observación de los primeros términos pon de manifiestu que na construcción d'esta tabla, sáltase socesivamente una medría de manera regular. Más precisamente, el cero ye repitíu una vegada, el 1 tres veces, el 2 cinco veces, el 3 siete veces, el 4 nueve veces, etc. El númberu de vegaes que l'enteru n repitir ye'l n-ésimo enteru impar. La demostración mora sobre la identidá siguiente, del tipu diferencia finita:

${\displaystyle (a+1)^{2}-a^{2}=2a+1\,}$

Estensión de la función raíz cuadrada

El raíz cuadrada d'un númberu complexu

Raíz cuadrada complexa.

Segunda fueya del raíz cuadrada complexa.

Usando la superficie de Riemann del raíz cuadrada, puede vese como encaxen los dos fueyes.

El cuadráu de cualquier númberu real positivu o negativu ye positivu, y el cuadráu de 0 ye 0. Poro, nengún númberu negativu puede tener un raíz cuadrada nos númberos reales. Sicasí, ye posible trabayar con un sistema más grande de númberos, llamaos los númberos complexos, que contienen soluciones al raíz cuadrada de cualquier númberu real negativu (ya inclusive de cualquier númberu complexu).^[14] Los númberos complexos pueden construyise definiendo un nuevu númberu astractu, denotado por i (dacuando j, especialmente nel contestu de la lletricidá) y llamáu unidá imaxinaria, que satisfai que i² = -1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como'l raíz cuadrada de −1, pero notamos que tamién tenemos (-i)²= i² = -1, asina que (−i) ye tamién un raíz cuadrada de −1. Polo xeneral, si x ye cualesquier númberu real positivu, entós nel raíz cuadrada principal de −x cumplir la siguiente igualdá:

${\displaystyle {\sqrt {-x}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {x}}=\pm i{\sqrt {x}}}$

esto ye, el raíz cuadrada d'un númberu negativu ye necesariamente imaxinariu.^[15] Pa cada númberu complexu distintu a cero z esisten esautamente dos númberos w tales que ${\displaystyle w^{2}=z\,\!}$.

Raíz cuadrada d'un númberu imaxinariu

Si deseyar atopar el raigañu d'un númberu imaxinariu ye posible demostrar la igualdá

${\displaystyle {\sqrt {\pm ix}}={\sqrt {\frac {x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {x}{2}}}.}$

Por casu, los raigaños cuadraos de ${\displaystyle i}$ son:

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

y : ${\displaystyle -{\sqrt {i}}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

Raíz cuadrada principal d'un númberu complexu

La definición xeneral de ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ ta introduciendo'l siguiente puntu de caña: si z = r·y^iφ ye representáu en coordenaes polares con −π < φ ≤ π, dempués afitamos el valor principal a:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {re^{i\varphi }}}={\sqrt {r}}\,y^{i\varphi \over 2}}$

Asina definíu, la función del raigañu ye holomorfa perdayuri sacante nos númberos reales non positivos, onde nun ye inclusive continua. La desusdicha serie de Taylor pa ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ sigue siendo válida pal restu de los númberos complexos x con |x| < 1.

Tamién puede representase en forma de funciones trigonométriques, utilizando la fórmula de Moivre. Si ${\displaystyle z=r(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi })}$ entós hai esautamente dos raigaños cuadraos; el primer ye:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}$

y pal otru raigañu úsase l'argumentu φ/2 + π, siendo'l módulu'l mesmu.^[16]

Fórmula alxebraica

Polo xeneral, pa un númberu complexu espresáu en forma cartesiana, per mediu d'estes fórmules llógrase la raíz cuadrada principal:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\operatorname {Re} (z)}{2}}}+i\ \operatorname {sgn}(\operatorname {Im} (z))\ {\sqrt {\frac {|z|-\operatorname {Re} (z)}{2}}},}$

onde |z| ye'l valor absolutu o módulu del númberu complexu, y el signu de la parte imaxinaria del raigañu coincide col signu de la parte imaxinaria del aniciando (ver función signo (sgn)).

L'otru raíz cuadrada llógrase a cencielles de multiplicar −1 pol raigañu cuadrada principal, dambos raigaños pueden ser escrites como :${\displaystyle \pm \left({\sqrt {\frac {|z|+\operatorname {Re} (z)}{2}}}+i\ \operatorname {sgn}(\operatorname {Im} (z))\ {\sqrt {\frac {|z|-\operatorname {Re} (z)}{2}}}\right)}$

Esta fórmula puede ser usada pa topar los raigaños d'una ecuación (non alxebraica) con coeficientes en cita riquida}}.

Notes

Repare que por cuenta de la naturaleza discontinua de la función del raíz cuadrada nel planu complexu, la llei ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}\cdot {\sqrt {w}}}$ ye polo xeneral falsa, y tien toa potencia nun conxuntu determináu. Ye incorreutu si asumir qu'esta llei ye la base de delles demostraciones inválides, por casu el demostrar que ${\displaystyle -1=1\,\!}$:

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=\pm 1}$

Onde la tercer igualdá tien que ser vista como:

${\displaystyle {\sqrt {1}}=1\longrightarrow \quad 1\cdot 1=1^{2}=1}$

${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1\longrightarrow \quad (-1)\cdot (-1)=(-1)^{2}=1}$

Al nun considerase, de normal les dos cañes de la función raíz cuadrada, puede inducir a errores na considerancia d'esta operación.

Raigaños cuadraos nos cuaterniones

Colos númberos complexos ta aseguráu que namái esiste un númberu finito de raigaños enésimos de la unidá. Asina por casu -1 tien namái dos raigaños complexos i y −i. Sicasí, nos númberos cuaterniónicos ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$ hai un númberu infinitu de raigaños cuadraos de -1: de fechu el conxuntu de soluciones forma una esfera nel espaciu tridimensional. Pa ver esto, sía q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase que'l so cuadráu ye −1. En términos de a, b, c y d esa asunción implica que

${\displaystyle a^{2}-(b^{2}+c^{2}+d^{2})=-1,}$

${\displaystyle 2ab=0,}$

${\displaystyle 2ac=0,}$

${\displaystyle 2ad=0.}$

Esti conxuntu d'ecuaciones reales tien infinites soluciones. Pa satisfaer les últimes trés ecuaciones tien de tenese que a = 0 o bien b = c = d = 0, sicasí, esta última posibilidá nun puede dase yá que al ser a un númberu real la primer ecuación implicaría que a² = −1, pero eso ye imposible pa un númberu real. Por tanto a = 0 y b² + c² + d² = 1. N'otres pallabres. Nótese que namái un cuaternión que sía igual a un númberu real negativu puede tener un númberu infinitu de raigaños cuadraos. Tolos demás tienen namái dos raigaños (o nel casu del 0 un únicu raigañu). Dau un númberu cuaterniónico ${\displaystyle a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k}$ (que nun sía un real negativu) los sos dos raigaños cuaterniónicas son:

${\displaystyle \pm b_{0}+{\frac {a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k}{2b_{0}}},\qquad b_{0}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {a_{0}+{\sqrt {a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}}}$

Lo anterior implica que la ecuación:

${\displaystyle z_{q}^{2n}=1,\qquad z_{q}\in \mathbb {H} ,n\in \mathbb {N} .}$

tien infinites soluciones, asitiaes sobre la esfera unidá.

Raíz cuadrada de matrices

Artículu principal: Raíz cuadrada d'una matriz

La esistencia d'un productu de matrices dexa definir el raíz cuadrada d'una matriz como aquella matriz B que multiplicada por sigo mesma da la orixinal A, esto ye, B²=A depués B=√A.

Raíz cuadrada en cuerpu finito

• Primero definamos los cuadraos, por casu en F[7] el conxuntu de los restos enteros módulu 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signu = significa congruencia.^[17] Non tolos númberos de F[7] tienen.
• 1² = 1; 2² = 4; 3² = 2; 4² = 2; 5² = 4; 6²= 1; 0² = 0.

• Vamos Dicir que a ye'l raíz cuadrada de b si a² = b; se denota ${\displaystyle a={\sqrt {b}}}$.

• de la llista anterior vese que #

${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$;

1. ${\displaystyle {\sqrt {1}}=6}$
2. ${\displaystyle {\sqrt {2}}=3}$;
3. ${\displaystyle {\sqrt {2}}=4}$;
4. ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$;
5. ${\displaystyle {\sqrt {4}}=5}$;

Cálculu de raigaños cuadraos

Artículu principal: Cálculu del raíz cuadrada

Anguaño esisten munchos métodos pa calcular el raíz cuadrada, habiendo dellos aptos pal cálculu manual y otros meyor afechos al cálculu automáticu.

Algoritmu

Cuando vamos realizar el raíz cuadrada col so métodu de resolución avezáu podemos ver les partes nes que s'estrema, anque les esenciales d'ésta nun tienen por qué apaecer o ser usaes solamente na operación pa ser calculada'l raíz cuadrada. Según esta imaxe, podemos ver que les partes de les que se compón; son:

1. Radical: ye'l símbolu qu'indica que ye un raíz cuadrada.
2. Aniciando o cantidá subradical: ye'l númberu del que se llogra'l raíz cuadrada.
3. Raigañu: ye puramente'l raíz cuadrada del aniciando.
4. Renglones auxiliares: van ayudanos a resolver el raíz cuadrada.
5. Restu: ye'l númberu final del procesu pa resolver el raíz cuadrada.

=== Utilizando llogaritmos simplificar el cálculu utilizando llogaritmos y los sos propiedaes emplegando les tables de llogaritmos o regles de cálculu.

${\displaystyle \!\,{\sqrt[{2}]{x}}=\operatorname {antilog} {\frac {\log(x)}{2}}\,}$

Algoritmos pa máquines

Calculadores, fueyes de cálculu y otros softwares tamién s'usen con frecuencia pa calcular raigaños cuadraos. Los programes de software ponen típicamente bones rutines na so execución pa computar la función esponencial y el llogaritmu natural o llogaritmu, computándose dempués el raíz cuadrada de x usando la identidá:

${\displaystyle {\sqrt {x}}=y^{{\frac {1}{2}}\ln x}}$ o ${\displaystyle {\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}}$

Construcción xeométrica del raíz cuadrada

El raíz cuadrada d'un númberu real puede construyise con regla y compás. Nos sos Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media xeométrica de dos cantidaes nes sos proposiciones II.14 y VI.13. Yá que la media xeométrica de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ ye ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$, unu puede construyir ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ a cencielles tomando ${\displaystyle b=1}$.

La construcción tamién foi dada por Descartes nel so llibru La Géométrie, vea la figura 2 na segunda páxina.

Otru métodu de construcción xeométrica (pa los raigaños de númberos naturales) usa triángulos rectángulos y inducción: ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$ puede, en concencia, ser construyíu, y una vegada que ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ foi construyíu, el triángulu con 1 y ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ como catetos, tien una hipotenusa de ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$.

Pasos a siguir pa la construcción xeométrica

AO = 1, OB = a, OH = x

Pa "calcular" geométricamente el raíz cuadrada d'un númberu real dau, lo que se fai ye una construcción, por aciu regla y compás, d'un segmentu que mida'l raíz cuadrada del llargor d'un segmentu orixinal que tenga por llargor esi valor real dau.

Los pasos a siguir son los siguientes:

1. Trazamos un segmentu ${\displaystyle OB\,\!}$ de llargor ${\displaystyle a\,\!}$, esto ye, de llargor igual al númberu del cual queremos calcular el so raíz cuadrada.
2. Estendemos el segmentu ${\displaystyle OB\,\!}$ nuna unidá (según el llargor que tomáramos como unidá) de cuenta que tengamos el segmentu ${\displaystyle AB\,\!}$ de llargor ${\displaystyle a+1\,\!}$.
3. Trazamos un círculu que tenga como diámetru'l segmentu ${\displaystyle AB\!}$.
4. Nel puntu ${\displaystyle O\,\!}$ (que ye onde empieza la estensión de llargor 1) trazamos una llinia perpendicular a ${\displaystyle AB\!}$. Esta llinia curtia a la circunferencia en dos puntos. Sía ${\displaystyle H\,\!}$ cualesquier d'esos puntos. Entós, resulta que'l segmentu ${\displaystyle OH\,\!}$ tien un llargor: ${\displaystyle OH={\sqrt {a}}}$.

Esta construcción tien la so importancia nel estudiu de los númberos constructibles.

Demostración de qu'OH ye igual al raíz cuadrada de OB

Pa demostrar esta igualdá, vamos demostrar que los triángulos ${\displaystyle AOH\,\!}$ y ${\displaystyle HOB\,\!}$ son triángulos asemeyaos:

1. L'ángulu ${\displaystyle H\,\!}$ ye un ángulu rectu (de 90º) yá que ${\displaystyle AB\,\!}$ ye la diagonal d'un arcu capaz.
2. El segmentu ${\displaystyle OH\,\!}$ ye perpendicular, por construcción, al segmentu ${\displaystyle AB\,\!}$. Esto ye que los dos ángulos con vértiz en ${\displaystyle O\,\!}$, ${\displaystyle BOH\,\!}$ (el derechu na diagrama) como ${\displaystyle HOA\,\!}$ (l'esquierdu na diagrama) son ángulos rectos.
3. La suma de tolos ángulos d'un triángulu ye igual a 180°.

Agora teniendo en cuenta tou esto construyimos el siguiente sistema d'ecuaciones:

1. ${\displaystyle 180=90+B+(90-H_{i})\,\!}$
2. ${\displaystyle 180=90+A+H_{i}\,\!}$

Onde ${\displaystyle H_{i}\,\!}$ ye l'ángulu cimeru del triángulu esquierdu del cual desconocemos la so abertura, les otres lletres representen los otros ángulos que desconocemos y l'ángulu ${\displaystyle H_{d}\,\!}$ puede representase como la resta de ${\displaystyle 90-H_{i}\,\!}$ yá que 90º ye'l valor de ${\displaystyle H\,\!}$ enteru. Al resolver la primer ecuación vemos que:

${\displaystyle 180=90+B+90-H_{i}\,\!}$;

${\displaystyle H_{i}=B\,\!}$.

Colo que yá demostremos qu'estos ángulos miden lo mesmo y al resolver el segundu:

${\displaystyle 90=A+H_{i}\,\!}$;

${\displaystyle A=90-H_{i}\,\!}$.

Colo que al ser ${\displaystyle 90-H_{i}=H_{d}\,\!}$ sácase que ${\displaystyle A=H_{d}\,\!}$ y con esto queda demostráu que al midir tolos ángulos lo mesmo son triángulos asemeyaos de manera ${\displaystyle AH_{i}O_{i}\,\!}$ ~ ${\displaystyle H_{d}BO_{d}\,\!}$. Al tener esta asemeyada los llaos de los triángulos tienen una proporcionalidad igual pa los trés llaos tal que:

${\displaystyle {\frac {OH}{1}}={\frac {OB}{OH}}={\frac {HB}{AH}}}$

Recordando que al construyir geométricamente el raigañu ${\displaystyle AO\,\!}$ siempres valía 1, colo que coyendo lo que nos interesa desenvolvemos:

${\displaystyle {\frac {OH}{1}}={\frac {OB}{OH}}}$;

${\displaystyle OB=OH^{2}\,\!}$;

${\displaystyle OH={\sqrt {OB}}}$.

Quedando demostrada.

Raigaños cuadraos útiles

Artículu principal: Raigaños cuadraos

Raíz cuadrada de 2.

Raíz cuadrada de 2

Artículu principal: Raíz cuadrada de 2

${\displaystyle 1^{2}+1^{2}=x^{2}\,\!}$

${\displaystyle x={\sqrt {2}}}$

Probablemente, el raíz cuadrada de 2 foi'l primer númberu irracional descubiertu, que'l so descubrimientu costó-y la vida a un correlixonariu de Pitágores. El valor d'esti númberu con 10 cifres decimales por truncamiento ye 1,4142135623. Apaez como senu y cosenu d'un ángulu de 45 graos sexagesimales. Hai delles fórmules de recurrencia pa topar el so valor averáu. Una d'elles ye'l conocíu métodu de la tanxente de Newton. El so irracionalidá yá la habíen demostráu los griegos. Sicasí, el so fundamentación debémos-y a Dedekind, Cantor nel sieglu XX. Verdaderamente, nun vien ser sinón una llende igual que y, pi, tan útiles y esquivos porque naide puede escribir les sos infinites cifres; pero basta con menos de 10 díxitos decimales pa lo que fai la ciencia y teunoloxía.

Raíz cuadrada de 3

Artículu principal: Raíz cuadrada de 3

Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal d'un cubu que les sos arestes miden 1.

El raíz cuadrada de 3: ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, tamién conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), ye geométricamente el valor de la diagonal d'un cubu que les sos arestes miden la unidá, pudiéndose demostrar col teorema de Pitágores. Tamién ye la hipotenusa d'un triángulu rectángulu construible que los sos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidá respeutivamente.

El valor d'esti númberu con 10 cifres decimales por truncamiento ye 1,7320508075

Raíz cuadrada de 5

Artículu principal: Raíz cuadrada de 5

El raíz cuadrada de 5: ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$, apaez na fórmula del númberu áureo, y ye geométricamente la hipotenusa d'un triángulu que los sos catetos miden 1 y 2 respeutivamente, comprobándose por aciu el teorema de Pitágores. El so valor con 10 cifres decimales por truncamiento ye 2,2360679774.

Usos y casos

• El raíz cuadrada usar pa calcular la hipotenusa d'un triángulu rectángulu, conociendo los catetos. O unu d'estos conociendo la hipotenusa y l'otru catetu.
• Pa topar el radiu d'un círculu conociendo la so área.
• Na detección de si un númberu enteru positivu ye primu; basta considerar como divisores primos, aquellos númberos primos que son menores que'l so raíz cuadrada, averada a unidaes.
• Pa topar el tiempu nel movimientu uniforme aceleráu ensin velocidá inicial.
• Pa conocer cuántos númberos impares iniciales, empezando dende'l 1, sumáronse; usando como dato un cuadráu perfectu.
• Nuna función cuadrática canónica, conociendo la ordenada, topar les correspondientes ascises.
• Pa calcular la diagonal d'un cuadráu conociendo la so área.
• Pa calcular la media cuadrática de datos positivos.^[18]
• Al calcular él área d'un triángulu equilláteru, onde intervién ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
• Al llograr l'área d'un tetraedru regular, en función de la so aresta, emplégase ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$^[19]
• Al llograr el volume d'un tetraedru regular, en función de la so aresta, úsase ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Pa topar la media proporcional c ente a y b. L'altor d'un triángulu conociendo les proyeiciones de los catetos sobre la hipotenusa. La tanxente a una circunferencia, conociendo la secante y la so parte esterna.
• La ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ usar en ciertes razones trigonométriques d'un ángulu de 30º o 60º.
• La ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ emplegar pa definir el senu y cosenu d'un ángulu de 45º.^[20]
• Al resolver una ecuación de segundu grau completa o de la forma x² = a, úsase'l raíz cuadrada; nel primer caso si'l determinante ye negativu, y na ecuación incompleta de segundu grau si a ye menor que cero, hai que topar el raíz cuadrada d'un númberu negativu, qu'apurre como raigaños, dos númberos complexos conxugaos. Nel casu de que se tenga una ecuación de segundu grau con coeficientes complexos non reales, tamién se topa'l raíz cuadrada, pero los raigaños de la ecuación cuadrática, nesti casu , non necesariamente, son conxugaes.^[21]
• Nel casu de resolver la ecuación cúbica amenorgada y³ + py + q = 0, por aciu la llamada fórmula de Cardano, necesariamente hai que topar el raíz cuadrada de p³/27 + q²/4 = H; depués efectuar los raigaños cúbicos de -q/2 + H y de -q/2 -H.^[22]

Ver tamién

• Cálculu del raíz cuadrada
• Cuadráu (álxebra)
• Cuadráu perfectu
• Fórmula de De Moivre
• Función esponencial
• Radicación
• Raíz cuadrada de 2
• Raíz cuadrada de 3
• Raíz cuadrada de 5
• Raigañu cúbicu
• Raigañu enésimu d'un númberu
• Raigañu de la unidá
• Radical xerarquizáu
• Residuu cuadrático
• Racionalización de radicales

Referencies

1. Álxebra moderna- Estructura y métodu. Dolciani y otros. Publicaciones Cultural. Méxicu, Mexico 1986
2. En llibros traducíos del inglés pa la editorial Pearson impresos en Mexico. El so usu yera más xeneral, p'aplicalo en raigaños enésimos.
3. Plausible xeneralización al casu d'un aniellu non conmutativu
4. Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. Nueva York: Springer-Verlag, 1994.
5. Joseph 2000, cap. 8.
6. Boyer: Historia de la matemática
7. Smith 1925, p. 148.
8. Boyer, Carl Benjamin (1992): Historia de la matemática (páx. 360), traducíu por Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X y ISBN 84-206-8186-5.
9. Ifrah, Georges (1997): Historia universal de les cifres (páx. 1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 y ISBN 84-239-9730-8.
10. Milton Donaire Peña. Formes y númberos. Editorial San Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9
11. Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Plana[1986]
12. Cirgüeyu G. M.: Elementos de Xeometría [1980]
13. Elementos de Xeometría de Cirgüeyu, páxs. 148, 149 y 150
14. Alfhors. Complex Analysis
15. Espinoza. Diccionariu de matemátiques. ISBN 84-8055-355-3.
16. Aplicación del Teorema de De Moivre. En Variable complexa con aplicaciones de William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7
17. Fraleigh: Algebra astracta
18. Galdós. Aritmética
19. Formulariu de Matemátiques «Cerebrito», Lima.
20. Resultaos qu'apaecen en manuales de xeometría y de trigonometría o en testos universitarios de diches disciplines.
21. Alhfords. Complex Variable. Tokyo 1956
22. Adilson Gonçalvez. Introduçao à álxebra. Impa . Ríu de de Janeiro , 1939

Bibliografía

• Stewart, James (2006). Cálculu: Conceutos y contexto. Méxicu D.F.: Thomson. ISBN 970-686-543-8 y ISBN 978-970-686-543-4.
• Joseph, George Gheverghese (2000) The crest of the peacock: the non-European roots of mathematics (La cresta del pavu real: Raigaños non europeos de la matemática). Londres. ISBN 0-691-00659-8 y ISBN 978-0-691-00659-8.
• Smith, David Eugene (1925) History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Historia de la matemática, vol 2, asuntos especiales de la matemática elemental). Boston. ISBN 0-486-20430-8 y ISBN 978-0-486-20430-7.
• Anglin, W.S. (Avientu de 1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemática: Una historia y una filosofía concises). New York. ISBN 0-387-94280-7 y ISBN 978-0-387-94280-3.

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Raíz cuadrada.
• Wikcionariu tien definiciones y otra información tocante a raigañu.
• Programa java pa topar el raíz cuadrada de númberos enteros con bien de cifres decimales: (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• Web educativa p'aprender a topar el raíz cuadrada pasu a pasu:

• Datos: Q134237
• Multimedia: Square root