عندما يستعمل اصطلاح B1=−1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح B1=+1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن Bn=0 مهما كان n فرديا وأكبر قطعا من الواحد. وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة Bn بدلا من B2n.
اكتُشفت هذه الأعداد من طرف عالم الرياضيات السويسريجاكوب بيرنولي, الذي سميت نسبة إليه، وفي الوقت نفسه تقريبا، وبصفة مستقلة عنه، من طرف عالم الرياضيات اليابانيسيكي كاوا.
نشر اكتشاف سيكي عام 1712[2][3] في عمله Katsuyo Sampo; وكان ذلك بعد وفاته. ونُشر اكتشاف بيرنولي في عام 1713. وكان ذلك بعد وفاته أيضا.
رغم أن أعداد بيرنولي سهلة الحساب، فإن قيمها ليس لها أي وصف أولي: فهي قيم دالة زيتا لريمان عند أعداد صحيحة سالبة.
تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.
أحد صفحات Katsuyo Sampo (1712) لسيكي كاوا, مجدولة معاملات ذات الحدين وأعداد بيرنولي
عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى، ولكن لم تكن هنالك «صيغ» حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.
لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، ويوهان فاولهابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.
بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة.
كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B0, B1, B2,... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى (Knuth 1993). قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى من طرف سيكي كاوا في اليابان.[2] بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.
المتعة التي أحس بها جاكوب بيرنولي حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى c لأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب:
بفضل هذا الجدول، استغرقت من الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن مجموع القوى العاشرة لألف عدد الأولى يساوي:
91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.
تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح أبراهام دي موافر.
تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:
هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m+1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:
العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B1=+1/2. ( يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)
لتكن n≥0. بجعل m مساوية ل 0 وB0=1 تعطي أعداد طبيعية 0,1,2,3,….
بجعل m مساوية ل 1 وB1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0,1,3,6, وهكذا.
بجعل m مساوية ل 2 وB2=1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0,1,5,14, وهكذا.
مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:
لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B1=−1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.
يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.
عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).
تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:
لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B1=1/2, some يضع المؤلفون B1=−1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل).لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.
تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتي
تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما:
تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية Bm(n) لجميع الأعداد الصحيحة n≥0, m ≥ 0. 00 التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B0(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n=0 على الترتيب n=1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير n.
مزيد من المعلومات, ...
n = 0
n = 1
إغلاق
التعبير هنا يحمل القيمة 1 إذا كان m=0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم دلتا كرونكر.
عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة Bm(0) في الحالة الأولى وBm(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.
التعريف الصريح
في عام 1893، نشر لويس سالشوتز ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي ((Saalschütz 1893)):
بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.
من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB0 حتى Bp−3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن pعدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p(logp)2) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).
يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب Bn متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء Bn عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقاربمعقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n2 log(n) 2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب Bn لقيم n=108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر (Kellner 2002) حسب Bn لأعلى دقة لقيم n=106 في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n=107 بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.
تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.
أعداد بيرنولي كائنات قائمة بذاتها.
تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...
هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.
أعداد بيرنولي كائنات توافقياتية.
تعاقب مصاحب: 1,+1/2,1/6,0,....
تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.
وبشكل متعاقب Bn=n! σn(1) for n≥0.
أعداد برنولي قيما لمتعددات حدود متعاقبة.
المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.
يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين: Bn=Bn(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,.... Bn=Bn(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
يختلف التعريفان فقط في إشارة B1. الخيار Bn=Bn(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - Handbook of Mathematical Functions.
أعداد بيرنولي قيما لدالة زيتا لريمان
التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
أعداد برنولي كما تصفها دالة زيتا لريمان.
يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح Bn=Bn(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B1 متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.
تحليل المقارب
متسلسلة تايلور لدالتي tan و tanh
الاستخدام في الطوبولوجيا
العلاقة بعدد فوربتزكي
العلاقة بمجموعة أعداد سترلنغ
العلاقة بعدد دورة سترلنغ
العلاقة بالأعداد الأويلرية
انظر إلى عدد أويلري.
أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.
المجموع:
يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.
الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي:
بتوحيد المقامات في الجانب الأيسر:
الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية.
بتعويض x ب -x، نجد ما يلي:
من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم عندما يكون المؤشر فرديا.
إعادة لصياغة نص فرضية ريمان
الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:
Abramowitz، M.؛ Stegun، C. A. (1972)، "§23.1: Bernoulli and أويلر Polynomials and the أويلر-Maclaurin Formula"، Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ط. 9th printing)، New York: Dover، ص.804–806.
André، D. (1879)، "Développements de sec x et tan x."، Comptes Rendus Acad. Sci.، ج.88، ص.965–967.
André، D. (1881)، "Mémoire sur les permutations alternées"، J. Math.، ج.7، ص.167–184.
Arlettaz، D. (1998)، "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie"، Math. Semesterber، ج.45، ص.61–75، DOI:10.1007/s005910050037.
Arnold، V. I. (1991)، "Bernoulli-أويلر updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics"، Duke Math. J.، ج.63، ص.537–555.
Ayoub، A. (1981)، "أويلر and the Zeta Function"، Amer. Math. Monthly، ج.74، ص.1067–1086.
Buhler، J.؛ Crandall، R.؛ Ernvall، R.؛ Metsankyla، T.؛ Shokrollahi، M. (2001)، "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million"، Journal of Symbolic Computation، ج.31، ص.89–96، DOI:10.1006/jsco.1999.1011{{استشهاد}}: استعمال الخط المائل أو الغليظ غير مسموح: |صحيفة= (مساعدة).
Carlitz، L. (1968)، "Bernoulli Numbers."، Fib. Quart.، ج.6، ص.71–85.
Clausen، Thomas (1840)، "Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen"، Astr. Nachr.، ج.17، ص.351–352.
Conway، John؛ Guy (1996)، The Book of Numbers، Springer-Verlag{{استشهاد}}: الوسيط غير المعروف |firshttp://en.wikipedia.org/w/index.php?title= تم تجاهله (مساعدة).
Dumont، D.؛ Viennot، G. (1980)، "A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers"، Ann. Discrete Math.، ج.6، ص.77–87، DOI:10.1016/S0167-5060(08)70696-4.
Knuth، D. E.؛ Buckholtz، T. J. (1967)، "Computation of Tangent, أويلر, and Bernoulli Numbers"، Mathematics of Computation، ج.21، ص.663–688، DOI:10.2307/2005010.
Kummer، E. E. (1850)، "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen"، J. Reine Angew. Math.، ج.40، ص.131–138 DIGIZ.
Kummer، E. E. (1851)، "Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen"، J. Reine Angew. Math.، ج.41، ص.368–372 DIGIZ.
Menabrea, L. F., "Sketch of the Analytic Engine invented by Charles Babbage, with notes upon the Memoir by the Translator Ada Augusta, Countess of Lovelace." Bibliothèque Universelle de Genève, October 1842, No. 82. http://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html
Milnor، John W.؛ Stasheff، James D. (1974)، "Appendix B: Bernoulli Numbers"، Characteristic Classes، Annals of Mathematics Studies، Princeton University Press and University of Tokyo Press، ج.76، ص.281–287.
Seidel، L. (1877)، "Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen"، Sitzungsber. Münch. Akad.، ج.4، ص.157–187.
Selin، Helaine (1997)، Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures، Springer، ص.819، ISBN:0792340663.
Slavutskii، Ilya Sh. (1995)، "Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers"، Historia Scientiarum، ج.2، ص.69–74.
فون شتاوت، كارل جورج كريستيان (1840)، "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend"، Journal für die reine und angewandte Mathematik، ج.21، ص.372–374.
فون شتاوت، كارل جورج كريستيان (1845)، "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram"، Erlangen.