عدد مثلثي

العدد المثلثي (بالإنجليزية: Triangular number) هو مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى n بالشكل:

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\dotsb +(n-1)+n={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}={n+1 \choose 2}.}$

الأعداد المثلثية الستة الأولى

تعطى الأعداد الأولى من سلسلة الأعداد المثلثية كالتالي: 1 - 3 - 6 - 10 - 15 - 21 - 28 - 36 - 45 - 55 - 66 - 78...

الأعداد المثلثية أكثر كثافة من معظم الأعداد المضلعية الأخرى. كثافة الأعداد المثلثية بالنسبة للكثافة الأعداد المربعة تساوي ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1,414...}$.^[1][2][3]

علاقة العدد المثلثي بالأعداد الشكلية

للأعداد المثلثية علاقة وطيدة بالأعداد الشكلية الأخرى. حيث يعتبر العدد المثلثي نفسه عدد شكلي يمثل مثلث. إن مجموع عددين مثلثيين متتاليين يعطي عدد مربعي.

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}.}$

وهذه العلاقة تمثل رسومياً كالتالي:

16

25

خاصيات

• لا يوجد عدد مثلثي مكعب باستثناء 1 و0 حسب حدسية كاتالان
• تكون الأعداد المثلثي ذا الترتيب 1, 2 ,3 ,4 ...,n على التوالي : فردية - فردية - زوجية - زوجية - فردية - فردية - زوجية - زوجية - ...
• لم يعثر بعد على عدد مثلثي مربعي مخمسي في نفس الوقت.
• مجموع مقاليب الأعداد المثلثية تساوي واحد ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+...=2}$ و هو مساو أيضا لمجموع مقاليب قوة 2.

فحص الأعداد المثلثية

يكون العدد x عدداً مثلثياً إذا كان العدد n في العلاقة التالية عددا صحيحا:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.}$

انظر أيضا

• عدد مربع
• عدد مخمسي
• عدد مثلثي مربعي