Syllogismus

Dialäkt: Schwäbisch

Allgemeine Definitio

Syllogismus isch an Fachbegriff aus dr Logik vom Aristoteles, dr sognannta Syllogischdik, en der er seine Argument als Syllogisma bezoichnet hot, ond zwar Argument mit gewisse Prämissa ond oiner draus folgenda Konklusio; des hot er scho en dr Topik gsait, en der er sei dialekdische Method firs folgerichtiche Argumentiera entwigglet hot.^[1] Späder hot er in seira Analytik dui Method ausbaut als Beweiswissaschaft^[2] ond domit d eigentliche Logik begrindet. Do hot er sei alde Definitio wiederholt, aber noh dazua gsait, dass zwoi Prämissa langat;^[3] ond des hoißt: Wenn d erschd Prämiss ond d zwoid Prämiss geldet, no gilt auch d Konklusio. Ma ka also an Syllogismus no kurz schreiba:

Prämisse 1, Prämisse 2 → Konklusion

An Syllogismus vom Aristoteles isch zom Beispiel:

Wenn jeder Mensch a Lebewesa isch ond wohr isch, dass seller a Mensch isch, no isch au wahr, dass seller a Lebewesa isch.^[4]

Spädere Logiger hänt sein Syllogismus so omformuliert:

Sokrates isch an Mensch. Jeder Mensch isch a Lebewesa. Also: Sokrates isch a Lebewesa.^[5]

Ma sieht: Aristoteles hot an Syllogismus als oin Wenn-Satz aufgfasst. Spädere hänt no draus Regla mit drei Sätz gmacht ond dia oft au onderanander gschrieba und mit 'Also' verknüpft. Sodde Syllogisma en Regelform hot ma no als Schlussregla aufgfasst mit ara speziellera Bedeutong: Wenn d erschd Prämiss ond d zwoid Prämiss bewiesa send, no isch auch d Konklusio bewiesa. D Formel wär no klarheitshalber mit em iblicha Ableitungsoperator z schreiba:

Prämisse 1, Prämisse 2 ${\displaystyle \vdash }$ Konklusion

D Auffassung vom Aristoteles isch aber allgemeiner: Do isch dr Pfeil a Implikatio, weil an bewiesener Syllogismus au falsche Prämissa han ka; des hot er extra betont ond demonschdriert.^[6] Syllogisma mit wohre Prämissa ka ma aber ohne weideres en a Schlussregel omforma: Ma derf a Implikatio → emmer durch an Ableitungsoperator ${\displaystyle \vdash }$ ersetza. Drom isch em Aristoteles seim Konzept de späder Traditio als Sonderfall mit enthalda.

Kategorische Syllogisma

Dr Inhalt vo dr traditionella Syllogischdik, dr sognannda assertorischa Syllogischdik, stammt aus da erschda sieba Kapidel vo seira Analytik. Do hot er spezielle Syllogisma ondersuacht, dia ma späder als kategorische Syllogisma bezoichnet hot. Ihre Prämissa send vier Aussageforma fir variable Term oder Begriff. Er hot se aus dr Topik ibernomma en d Analytik, dabei aber omformuliert ond d Reiafolg vo de Begriff verdauschd:

Aussaga (Analytik)[7]	Formla	kategorische Aussaga (Topik)[8]	Aussaganama
A kommt jedem B zua	AaB	Jedes B isch a A	universell affirmativ
A kommt koim B zua	AeB	Koi A isch a B	universell negativ
A kommt irgendoim B zua	AiB	Irgendoi B isch a A	partikulär affirmativ
A kommt irgendoim B et zua	AoB	Irgendoi B isch koi A	partikulär negativ

Aristoteles hot drei Figura fir Syllogisma mit sodde Aussage ageh; se onderscheidet sich in dr Stellong vom Oberbegriff A en dr erschda Prämiss, vom Mittelbegriff B in boide Prämissa und im Onderbegriff C en dr zwoita Prämiss; dr Mittelbegriff B isch no en dr Konklusio eliminiert:

Syllogismus-Figura[9]
1. Figur	AxB, ByC → AzC
2. Figur	BxA, ByC → AzC
3. Figur	AxB, CyB → AzC

Aristoteles isch no hergange ond hot älle 48 Prämissakombinationa mit kategorische Aussage ondersuacht, ob mit ehne an Syllogismus bildet werda ka oder et. 34 Fäll hot er ausgschieda durch Falsifikationa mit eigsetzte aschauliche Begriff; zu da ibriga 14 Fäll hot er je oin Syllogismus angeh.^[10] Vier direkt eisichtige Syllogisma vo dr erschda Figur hot er vollkomma gnannt.^[11] Auf dia hot er de restliche Syllogisma zrickgfihrt durch direkte oder endirekte Beweis.^[12] Dr ersche vollkommene Syllogismus ischs Transitivgsetz AaB, BaC → AaC und hoißt seit em Middelalder Barbara; von domols stammt au d aschauliche Darschdellong vo de Syllogisma mit iberanander gschriebene Prämissa mit eigsetzde Begriff:

Vollkommene Syllogisma[11]	scholastischer Merknama	scholastischs Beispiel[13] Subjekt ond Objekt verdauscht!
AaB, BaC → AaC	Barbara	Jedes Lebewesa isch a Wesa Jeder Mensch isch a Lebewesa Also: Jeder Mensch isch a Wesa
AeB, BaC → AeC	Celarent	Koi Lebewesa isch an Stoi Jeder Mensch isch a Lebewesa Also: Koin Mensch isch an Stoi
AaB, BiC → AiC	Darii	Jedes Lebewesa isch a Wesa Irgendoin Mensch isch a Lebewesa Also: Irgendoin Mensch isch a Wesa
AeB, BiC → AoC	Ferio	Koi Lebewesa isch a Stoi Irgendoin Mensch isch a Lebewesa Also: Irgendoin Mensch isch koin Stoi

D middelalderliche Bezeichnonga hänt sich durchgsetzt. Se stammed aus ama Merkgedicht, en dem älle Syllogisma vom Aristoteles sodde Merknama hänt; dr scholastische Logiger Petrus Hispanus hot nemlich am Aristoteles seine Axiom aus dr Analytik eruierd ond codierd on scho a fascht perfekde Kalkülversio entwigglet. In dera Versio isch no d Syllogischdik tradiert worra ond bis ens 19. Johrhondert maßgeblich gwäa. Dr George Boole hot se no en sei mathemadischa Logik eibaut. D Feinheida ka ma en da Artikl iber dia Logiger nochlesa und dort au de ibrige kategorische Syllogisma samt de Beweis gnau studiera.

Singulärer Syllogismus

Dr Aristoteles hot au Syllogisma mit singuläre Aussaga bildet, wie oba s allererschde Beispiel belegt. Sodde singuläre Aussaga hänt als Subjekt a Individuum wie zom Beispiel Sokrates; eba den Nama hot er gern als Muschder-Individuum benützt.^[14] Individua hot der Aristoteles als odeilbare Term en der Eizahl definiert.^[15] Fir Individua ond singuläre Aussage hot er aber koi extra Syllogischdik entwigglet. Er hot nemlich d Indivdua als normale Term eigschduft und se en indefinite Aussage eigsetzt, bei dena koi Pronoma 'jeder' oder 'koi' oder 'irgendoin' meh vornadra stoht.^[16] Ond no hot er en ama Nochsatz, den ma fascht iberliest, den singulära Syllogismus mit indefiniter Prämiss oifach gleichsetzt mit am Syllogismus Darii mit ara partikulär affirmativa Prämiss.^[17] A Formel fir d singulära Aussaga ond den Syllogismus hot erschd der Giuseppe Peano entwigglet für sei Klassenlogik; ond die hot ma no en d Mengenlehre übernomma, en dera seller Syllogismus a wichtiche Roll spielt.

singuläre Aussag[16]	Formel[18]
A isch a B	A${\displaystyle \in }$B

singulärer Syllogismus[17]	Formel[19]
Variante zu CaB, BiA → CaA (Darii): A isch a B. Jedes B isch a C. Also: A isch a C	A${\displaystyle \in }$B, B${\displaystyle \subseteq }$C → A${\displaystyle \in }$C

Modale Syllogisma

Noch dr assertorischa Syllogischdik hot der Aristoteles no a modale Syllogischdik entwigglet. En d Syllogisma hot er dort außer kategorische Aussaga au no sodde mit Modaloperatora 'notwendigerweis' ond 'möglicherweis' eigsetzt; in Formla dät ma se heit so schreiba: ${\displaystyle \Box }$(AaB) ond ${\displaystyle \Diamond }$(AaB) ond gnauso fir e, i, o. Außerdem hot er au no an Kontingenz-Operator davor gsetzt, fir dens koi eiheitlichs Symbol geit. Dui modale Syllogischdik isch zemlich omfangreich ond goht über 14 Kapitel und hot iber hondert modale Syllogisma.^[20] Se isch au reacht kompliziert ond et so oifach zom Interprediera. S gibt viele Versuach, seine modale Syllogisma logisch gnau in Formla mit Modaloperatora zfassa. Siebzig Johr lang hot ma se ausgiebig analysiert ond no a Resümee zoga: "D modale Logik vom Aristoteles isch fir d logische Forschong em 20. Johrhondert bis heit a Rätsel".^[21]

Hypothetische Syllogisma

D hypothetische Syllogismen stammet aus dr stoischa Aussagenlogik. Dr Stoiker Chrysipp hot nemlich s erschd Mol aussagalogische Regla als Syllogisma formuliert, ond zwor fenf Stick onder am Nama Obeweisbare.^[22] Domit hot er saga wella, dass des in seire Logik aussagenlogische Axiom send. Se hänt en de Prämisse lauder Aussagavariabla, aber koine Term-Variable wia d kategorische Syllogisma. Statt obeweisbar hänt no spätantike Logiger hypothetisch gsait, ond des isch no allgmein dr Nama fir aussagenlogische Syllogismen worra. S gibt aber scho Vorforma en der Topik vom Aristoteles, nemlich vier Schlussregla fir d dialektische Argumentatio, dena ma em Middelalder ladeinische Nama geh hot.^[23] Dr Chrysipp hot aus dena frei formulierde Vorforma no präzise, formelhafde Syllogisma gmacht, dia ma vollends leicht in aktuelle Formla ibersetza ka.

	Hypothetische Syllogisma Chrysipp[22]	aktuelle Formla[24]		Schlussregla Aristoteles[23]
Konditionale Syllogisma	Wenn A no B. Ond A. Also B	A${\displaystyle \Rightarrow }$B, A → B		A→B, A ${\displaystyle \vdash }$ B	modus ponens
	Wenn A no B. Ond et B. Also et A	A${\displaystyle \Rightarrow }$B, ${\displaystyle \neg }$B → ${\displaystyle \neg }$A		A→B, ${\displaystyle \neg }$B ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle \neg }$A	modus tollens
Konjunktionaler Syllogimus	Et (A ond B). Ond A. Also et B	${\displaystyle \neg }$(A${\displaystyle \land }$B), A → ${\displaystyle \neg }$B
Disjunktive Syllogisma	Entweder A oder B. Ond A. Also et B	A+B, A → ${\displaystyle \neg }$B		A+B, A ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle \neg }$B	modus ponendo tollens
	Entweder A oder B. Ond et B. Also A	A+B, ${\displaystyle \neg }$B → A		A+B, ${\displaystyle \neg }$B ${\displaystyle \vdash }$ A	modus tollendo ponens

D fenf hypothetische Syllogima hot ma no anonym weidertradiert ond au durch andere Beispiel erweidert. Se send no au en moderne mathemadische Aussagalogik aufgnomma worda, zerscht vom George Boole.^[25]

Fuaßnoda

1. Aristoteles: Top. I 1, 100a25-27
2. Aristoteles: An. pr. A1, 24a10f ἐπιστήμη ἀποδεικτική (Enhaltsagab am Afang).
3. Aristoteles: An. pr. A1, 24b18-20, Definitio mit gwisse Prämissa; An. pr. A25, 42a32-35 bschränkt auf gnau zwoi Prämissa.
4. Aristoteles: An. post. A4:73a29ff: οἷον εἰ κατὰ παντὸς ἀνθρώπου ζῷον, εἰ ἀληθὲς τόνδ' εἰπεῖν ἄνθρωπον, ἀληθὲς καὶ ζῷον.
5. Sextus Empiricus: Pyrrhonische Hypotyposen II §164.
6. Aristoteles: An pr A4:25b29-31; Beispiel mit falschen Prämissen: An pr B2-B4.
7. Aristoteles: An. pr. A1, 24a18f
8. Aristoteles: Top. II 1, 108b35ff; ferner au: De Interpretatione 7, 17b17-21
9. Aristoteles: An. pr. A4-6 (Figur 2+3 mit andera Variabla). Aus Varianda mit konverdierder Konklusio en An.pr. A7, 29a22-27 hänt spädere Logiger a vierte Figur gmacht.
10. Aristoteles: An. pr. A4-6 ontersuacht genau dia 48 Prämissa-Kombinationa, aber et älle 192 Kombinationa mit Konklusio! Drom fehlet dort 4 Syllogisma; dia hent nemlich gleiche Prämissa wie andere Syllogisma, aber a abgschwächde Konklusio.
11. Aristoteles: An. pr. A4, 25a34f, 25b32-26a2, 26b23-25
12. Aristoteles: An. pr. A5, A6
13. Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 6.
14. Aristoteles: An.pr. A27, 42a35; Kat 10,13b134ff ond 11,14a9ff.
15. Aristoteles: An.post. B5,91b29-32; Kat 2, 1b6f ond 5,3b12.
16. Aristoteles: An. pr. A1,24a19-22 mit Beispiel, weidere en An.pr A27,43a26-29 ond au konverdiert mit 'B kommt A zua' en An.pr A33,47b22+24+30.
17. Aristoteles: An. pr. A7,29a27-29.
18. Peano: Arithmetices Principia, Turin 1889, S. v, vi; ϵ als Initiale vo ̓ϵστί, später em Schrifttyp ε: Peano: Logique mathématique, 1897, S. 20.
19. Peano: Arithmetices Principia, Turin 1889, S. XI (55).
20. Aristoteles: An. pr. A8-A22.
21. K. J. Schmidt: Die modale Syllogistik des Aristoteles, Paderborn 2000, S. 7 (schriftdeutsch).
22. Karlheinz Hülser: Die Fragmente zur Dialektik der Stoiker, Band 4, Fragment 1130, 1131.Archivierte Kopie (Memento vom 4. März 2017 im Internet Archive) D Obeweisbare send koine Schlussregla, weil er sodde extra als "Themata" formuliert hot: Hülser: Fragment 1160-67.
23. Aristoteles: Topik II 4,111b19-23 (modus ponens, modus tollens) und Topik II 6,112a24-30 (modus ponendo tollens, modus tolendo ponens).
24. Dr Pfeil ${\displaystyle \Rightarrow }$ isch do materiale Implikatio mit Definitio A${\displaystyle \Rightarrow }$B:=${\displaystyle \neg }$(A${\displaystyle \land \neg }$B), ond → isch an Regelpfeil wie en am Regel-Kalkül à la Gentzen.
25. George Boole: The mathematical Analysis of Logik, 1847, S. 56, 1st Disjunctive Syllogism, 2nd/3rd Conditional Syllogisms.