George Boole

Dr George Boole [ˌdʒɔːdʒ ˈbuːɫ] (* 2. November 1815 en Lincoln, England; † 8. Dezember 1864 en Ballintemple, en dr Grofschaft Cork, Irland) isch an englischer Mathematiker, Logiker ond Philosoph gwäa.

George Boole (um 1860)

Dialäkt: Schwäbisch

Leba

Dr George Boole hot außer dr Grondschual koine weiderfihrende Schuala bsuacht. Er hot sich selber Aldgrieachisch, Franzesisch ond Deitsch beibrocht. Mit 16 isch er Hilfslehrer worra, damit er sei Familie finanziell onderschditza hot kenna. Mit 19 hot er sei oigene Schual ufgmacht. Wega seina wissaschafdlicha Arbeida isch er no 1848 Matheprofesser worra am Queens College en Cork (Irland), obwohl er selber koi Uni bsuacht hot. Dort hot er d Mary Everest kennaglernd, sei spädere Frau. Dui war mathemadisch entressiert und hot als Bibliothekarin sich mit dr Didakdik vo dr Mathematik ausanandergsetzt. Vo ihrm Onkl George Everest hot dr hechschde Berg vo dr Welt sein Nama. George ond Mary hänt faif Dechder ghet, oine dovo isch d Autorin ond Musikerin Ethel Lilian Voynich (1864–1960) ond oine d Mathemadikerin Alicia Boole Stott (1860–1940), dui s ohne akademische Bildong gschafft hot, d reguläre Polyeder en vier Dimensiona z klassifiziera. Vo dr Royal Society isch dr Boole 1844 mit dr Royal Medal auszeichnet worra. 1847 hot er sei epochemachends Buach The Mathematical Analysis of Logic publiziert ond 1854 sei ausfihrlichers Buach An Investigation of the Laws of Thought. 1857 isch er zom Mitglied („Fellow“) von dr Royal Society gwählt worra.

Am Boole sei Grabstoi auf em Friedhof vo St Michael’s, Blackrock, Irland

Am George Boole sei Haus, Bachelor‘s Quay, Cork

George Boole isch am 8. Dezember 1864 scho mit 49 an ra fiebriga Erkäldong gschdorba. Er isch nemlich z Fuaß zwoi Meila em stremenda Rega zur Uni gloffa ond hot sei Vorlesong no en durchnässde Kloider ghalda. Dobei hot er sich erkäldet ond hohs Fieber kriagt ond sich nemme erholt. Zo ällem Ibel hat sei Frau ehn nach dr domoliga Nadurhoilkonde bhandlet ond da kranka Ma noch dr Regel „Gleiches mit Gleichem“ kibelweis mit kalt Wasser ibergossa. Als Todesursach hot mr no Pleuraerguss ageh.^[1]

Hauptwerk

Boole hot en seira Schrift The Mathematical Analysis of Logic vo 1847 da erschda logischa Kalkül gschaffa ond domit d mathemadische Logik begrindet, dia sich vo dr bis do na iblicha Logik durch a konsequende Formalisierong onderscheidet. Er hot d klassische Logik ond Aussagalogik en Formla ibersetzt ond a Rechaverfahra entwiggled, mit dem mr endscheida ka, ob a Formel wohr oder falsch isch.^[2][3] Weil aus dr Endscheidbarkeit d Vollschdändigkeit ond Widerspruchsfreiheit vo dr klassischa Logik folgt, hot dr Boole domit scho guat 70 Johr vor am David Hilbert seim Programm a Lesong bodda fir da wichdigschda Doil vo dr Logik. Späder hot ma em Boole sei Logik a bissle weider entwigglet zor boolescha Algebra ond zom boolescha Reng ond noch em bnannt. Dia Strukdura hent a große Bedeidong in dr Mengalehre ond dr ganza Mathematik kriagt.

Originalkalkül

Boole hot en dr ganz normala Algebra grechnet, mo jeder aus dr Schual kennt. Des hoißt auf Fachchinesisch: Er hot em a Potenzreiha-Reng überm Körper vo de reelle Zahla grechnet.^[4] No isch er herganga ond hot statt am Wördle OND ganz oifach molgnomma ond ebbas Negierds vo dr Ois abzoga ond verlangd, dass ebbes mit sich molgnomma nix Neis geit em logischa Bereich; seine Formla ka mr au mit heidiga Symbol schreiba:^[5]

${\displaystyle x}$ OND ${\displaystyle y\$ :=\ x\land y\ :=\ xy}

ET ${\displaystyle x\$ :=\ \neg x\ :=\ 1-x}

${\displaystyle xx=x}$ für älle logische Term ${\displaystyle x}$

S isch klar, dass et älle Formla an logischa Senn hänt: zom Beispiel macht ${\displaystyle 1+1=2}$ logisch koin Senn, weil 2 mol 2 et 2 isch; deswega hot dr Boole ${\displaystyle x+y}$ et inderpredierbar gnennt.^[6] S Addiera isch also im logischen Doil vo dr Algebra bloß a partiella Operatio, drom hot er vo ausgwählta logischa Formla ond Gleichonga gsprocha.^[7] Des hänt seine Nochfolger hefdich kridisiart.^[8][9] Er hot aber gar koin Fehler gmacht. Mr rechnet nemlich leicht noch, dass dr logische Bereich en sich abgschlossa isch: D Ois mit sich molgnomma geit nix Neis, a Produkt vo zwei logischa Formla mit sich molgnomma geit nix Neis ond ebbes Negierds mit sich molgnomma geit au nix Neis. No geit au älles, was mr logisch mit sodde Formla definiera ka, mit sich molgnomma nix Neis. Des gilt au fir seine Formla zom ODER ond ENTWEDER-ODER:^[10]

${\displaystyle x}$ ODER ${\displaystyle y\$ :=\ x\lor y\ :=\ x+y-xy}

ENTWEDER ${\displaystyle x}$ ODER ${\displaystyle y\$ :=\ x\oplus y\ :=\ x-2xy+y}

Offasichtlich ghöret boide Definitiona zom logischa Bereich:

${\displaystyle x\lor y\ =\ x+y-xy\ =\ 1-(1-x)(1-y)\ =\ \neg (\neg x\land \neg y)}$

${\displaystyle x\oplus y\ =\ x-2xy+y\ =\ x(1-y)+y(1-x)-x(1-y)y(1-x)\ =\ (x\land \neg y)\lor (y\land \neg x)}$

Wer rechna ka, ka sich au leicht iberzeiga: Sei ODER-Definitio liafret älle Axiom vo dr spädera boolescha Algebra und sei ENTWEDER-ODER-Definitio älle Axiom vom spädere boolescha Reng, ma muaß allerdengs ${\displaystyle \oplus }$ und ${\displaystyle +}$ strigt onderscheida.

Boole hot sei Algebra in erschder Linie fir Begriff gschaffa; do isch ${\displaystyle 1}$ s Universom (d Allklass) und d Buachstaba ${\displaystyle x,y,z\ldots }$ standed fir Klassa (Begriff). Domit hot er no d scholaschdische Syllogischdik analysierd^[11] ond d Grondaussaga dozua als Gleichonga gfasst:^[12]

ÄLLE ${\displaystyle x}$ SEND ${\displaystyle y\$ :=\ (xy=x)}   gleichwerdich dazua ${\displaystyle x(1-y)=0}$

KOINE ${\displaystyle x}$ SEND ${\displaystyle y\$ :=\ (xy=0)}

Boole hot aber sein Kalkül au als Aussagalogik gnutzt. Do standed d Buachstaba ${\displaystyle x,y,z\ldots }$ fir Aussaga ond ${\displaystyle 1}$ ond ${\displaystyle 0}$ send Wohrheitswert:^[13]

${\displaystyle x}$ ISCH WOHR${\displaystyle \$ :=\ (x=1)}

${\displaystyle x}$ ISCH FALSCH${\displaystyle \$ :=\ (x=0)}

Zerscht hot er no d hypothetische Syllogisma aus dr stoische Aussagelogik analysierd.^[14] No hot er au noh a semandischs Endscheidongsverfahra entwigglet, bei dem ma lauder Wohrheitswert in a Formel eisetzt ond an Wohrheitswert ausrechnet.^[15] Sell entschpricht em Entscheidongsverfahra mit Wohrheitsdafla, mit dena ma Tautologia ermiddla duat.

Kalkül-Modifikationa

Onder dr boolescha Algebra verschdoht ma heit nemme em Boole sei oigena Algebra, sondern dr boolescha Verband, den Boole-Nochfolger entwigglet hänt. 1864 hot dr William Stanley Jevons älle logisch sennlose Formla bei Boole ausgschieda und dr Additio da Senn vom ODER geh mit dr Regel ${\displaystyle x+x=x}$.^[16] Dr Boole hot em gschrieba, dass er et oinich sei mit dera Ominterpredatio, weil d Regla vo dr normala Algebra verletzt send, s dät nemlich aus ${\displaystyle x+x=x}$ dr Osenn ${\displaystyle x=0}$ folga.^[17] Oinaweg hot sich dui Veränderung vo seim Kalkül durchgsetzt, hauptsächlich onderm Eifluss vom Ernst Schröder, der dazua 1877 s erschde vollschdändige Axiomasyschdem ageh hot; des hot no 1888 dr Giuseppe Peano in d modern Fassong broacht, bei dera ma s Pluszeicha nemma benitza duat, damit s koine Verwechslonga geit.^[18][19]

Am Boole sei Kalkül lässt sich au so modifiziera, dass koine logisch sennlose Formla meh vorkommat ond trotzdem d ibliche Recharegla fir d Additio geldet. Dazua muass d Additio logisch abgeschlossa sei ond mendeschdens ${\displaystyle (x+1)(x+1)=(x+1)}$ gelda, on des hoißt no ${\displaystyle x+x=0}$ oder ${\displaystyle 2x=0}$. Offasichtlich hot no d Additio da Senn vo ENTWEDER-ODER. Ma ka no au minus en plus omwandla: ${\displaystyle -x=x}$. So an Kalkül hot erschd 1927 dr Iwan Iwanowitsch Schegalkin ageh.^[20] Ma spricht vom a boolescha Reng, so hot dr Marshall Harvey Stone 1936 dui Algebra gnennt, in der älle aus Schual bekannde Recharegla geldet, aber koine andere Zahla als Null ond Ois vorkommad. S Entscheidongsverfahra wird do suber oifach: Ma wandlet enra Formel minus in plus om, multiplizierd no aus ond streicht älle dopplede Fakdora ond Summanda mit da Regla ${\displaystyle xx=x}$ ond ${\displaystyle x+x=0}$. Des geit a sognannde distributive Normalform, dera ma glei asiaht, ob se wohr oder falsch isch. Des macht ma sich am beschda an am Beispiel klar: Dr sognannde Satz vom ausgschlossena Dridda hot d Formel ${\displaystyle x\lor \neg x}$; mit am Boole seine Definitiona hoißt des ${\displaystyle x+(1-x)-x(1-x)}$ ond mit plus statt minus ${\displaystyle x+(1+x)+x(1+x)}$; ausmultipliziert kriagt ma no ${\displaystyle x+1+x+x+xx}$ ond noch am Streicha mit sella zusätlicha Regla bleibt ${\displaystyle 1}$ ibrich, on des isch genau d Normalform vonara wohra Formel. Bei ra falscha Formel wär d Normalform ${\displaystyle 0}$ ond bei ra Formel, mo et wohr ond et falsch isch, irgend ebbes anders.

Boide Kalkülmodifikationa send im Originalkalkül vom Boole emplizit enthalda, weil ma wia gsait mit seina Definitiona boide Axiomasyschdem herloida ka.

Schrifda

• George Boole: The mathematical analysis of logic: being an essay towards a calculus of deductive reasoning, 1847.
  • übersetzt, kommentiert und mit einem Nachwort versehen von Tilman Bergt: Die mathematische Analyse der Logik. Hallescher Verlag, Halle (Saale) 2001, pp 195, ISBN 3-929887-29-0.
• George Boole: An Investigation of The Laws of Thought, London 1854; Reprint: Dover, New York, NY 1958, ISBN 0-486-60028-9.
• George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy, herausgegeben von Ivor Grattan-Guinness und Gérard Bornet, Birkhäuser, Berlin / Basel / Bosten, MA 1997, ISBN 3-7643-5456-9 (Berlin) / ISBN 0-8176-5456-9 (Boston) (= Science networks, Band 20, (englisch)).

Litradur

• James Gasser (Hrsg.): A Boole Anthology. Recent and Classical Studies in the Logic of George Boole. Kluwer Academic Publishers Dordrecht 2000, ISBN 0-7923-6380-9. Aktueller Forschungsstand.
• Marshall Harvey Stone: The Theory of Representations for Boolean Algebras. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 40. 1936, S. 37–111.
• Desmond MacHale: George Boole. His Life and Work. Boole Press, Dublin 1985.
• P. D. Barry (Hrsg.): George Boole. A miscellany. Cork 1969.
• R. Harley: George Boole. An essay, biographical and expository. London 1866.
• G. C. Smith: The Boole-De Morgan correspondence, 1842–1864. New York 1982.

Weblinks

 Commons: George Boole – Sammlig vo Multimediadateie

• Boole: The mathematical analysis of logic, 1847 Digitalisat
• Boole: An Investigation of The Laws of Thought, London 1854, Digitalisat
• Boole: An Investigation of The Laws of Thought, E-Book, 2005 bei Gutenberg.org
• Stanley Burris: „George Boole“ in dr Stanford Encyclopedia of Philosophy (änglisch, mit Literaturaagabe)
• Yydrag zue Boole: George (1815–1864), Mathematician im Archiv vu dr Royal Society, London
• George Boole. In: MacTutor History of Mathematics archive. (änglisch)
• Autoren-Profil in der Datenbank zbMATH

Fuaßnoda

1. 200. Geburtstag von George Boole: Der Mann, der uns die Online-Suche ermöglichte. Spiegel online vom 2. November 2015.
2. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 60ff, definiert a disjunkdiva Normalform iber MacLaurin-Reia.
3. „[…] it is interesting to see that the methods Boole introduced can be applied in a mechanical fashion. In effect he has given what is now called a decision procedure“ (William ond Martha Kneale: The Development of Logic. Oxford: Clarendon Press 1962, Daschabuach 1984, ISBN 0-19-824773-7, Seite 240).
4. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 18: „properties which they possess in common with symbols of quantity, and in virtue of which, all the processes of common algebra are applicable to the present System.“ Dazua ghört d Divisio S. 73 ond Taylorreiha S. 60ff. Mit quantity hot er Größa gmoint, so hot mr domals reelle Zahla gnennt.
5. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 15 Konjunktion, S. 17 Idempotenz, S. 20 Negation.
6. Boole: An Investigation of the Laws of Thought. S. 66: „The expression ${\displaystyle x+y}$ seems indeed uninterpretable, unless it be assumed that the things represented by ${\displaystyle x}$ and the things represented by ${\displaystyle y}$ are entirely separate; that they embrace no individuals in common.“
7. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 16: elective symbols, elective functions, elective equations.
8. William Stanley Jevons: Pure logic, London 1864, S. 3: The forms of my system may, in fact, be reached by divesting his system of a mathematical dress, which, to say the least, ist not essential to it.
9. Schröder: Der Operationskreis des Logikkalkuls, 1877, Vorwort S. III: „Ballast der algebraischen Zahlen“, „nicht deutungsfähigen Symbolen wie 2, -1, 1/3, 1/0“.
10. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 53 (30) inklusives ODER, (31) exklusives ENTWEDER-ODER.
11. Boole: The Mathematical Analysis of Logic, S. 20–47 (Kapitel 2-4).
12. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 21 (4)(5).
13. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 51 (25)(26).
14. Boole: The Mathematical Analysis of Logic, S. 48–59 (Kapitel 5); S. 56 disjunktive Syllogisma 4+5 ond konditionale Syllogisma 1+2 vom Chrysipp.
15. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 62–64, Prop. 1 mit mehrera Korollar; dabei hot er vo „moduli of a function“ gsprocha.
16. William Stanley Jevons: Pure logic, London 1864, S. 26 (69.) A+A als „A or A“ mit Regel A+A=A.
17. Zur Korreschpondenz zwischa Boole ond Jevons: Artikel George Boole, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 5.1 Objections to Boole‘s Algebra of Logic.
18. Ernst Schröder: Der Operationskreis des Logikkalkuls, Leipzig 1877, S. 8-17 (2)(3)(5)(6)(7).
19. Giuseppe Peano: Calcolo geometrico, Torino 1888, S. 3-5.
20. Iwan Iwanowitsch Shegalkin: О технике вычислений предложений в символической логике, in: Matematicheskij Sbornik 34 (1927), 9-28; dort S. 11f s Axiomasyschdem

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