Oppervlakte

Oppervlakte of area is die grootheidsuitdrukking van 'n tweedimensionele grootte van 'n gedefinieerde deel van 'n oppervlakte, tipies 'n gebied begrens deur 'n geslote kromme. Die term oppervlakte area verwys na die totale area van die ontblote oppervlaktes in 'n driedimensionele ruimteliggaam, soos die som van die areas van die ontblote kante van 'n poliëder (veelvlak). Die oppervlakte, simbool: A, dui die grootte van 'n tweedimensionele gebied aan. Die term oppervlakte word ook dikwels gebruik om die grootte van 'n stuk grond ('n plaas, erf of 'n land) aan te dui.

Eenhede

Die SI-eenheid van oppervlakte is die vierkante meter, m². Dit is 'n afgeleide eenheid van die SI-eenheid meter. (Vir 'n lys van SI-eenhede sien SI-stelsel.)

Eenhede vir die meet van oppervlak area sluit in:

Metries	VS & Britse eenhede	Kaapse eenhede[1]
vierkante meter (m2) = SI afgeleide eenheid	vierkante voet = 144 vierkante duim = 0.09290304 vierkante meter (m2)	Kaapse vierkante voet = 0,099136 vierkante meter (m2) = 1,067089 vierkante voet (VK/VS)
aar (a) = 100 vierkante meter (m2)	vierkante jaart = 9 vierkante voet = 0.83612736 vierkante meter (m2)	Kaapse vierkante roed = 144 Kaapse vierkante voet = 14,19 vierkante meter (m2)
hektaar (ha) = 10,000 vierkante meter (m2)	vierkante roede = 30.25 vierkante jaart = 25.2928526 vierkante meter (m2)	morg = 600 Kaapse vierkante roede = 0,856 532 hektaar (ha).[2]
vierkante kilometer (km2) = 1,000,000 vierkante meter (m2)	akker = 160 vierkante roede of 4,840 vierkante jaart = 4046.8564224 vierkante meter (m2)
vierkante megameters (Mm2) = 1012 vierkante meter (m2)	vierkante myl = 640 akker = 2.5899881103 vierkante kilometer (km2)

Vergelykings

Oppervlakte kan as volg bereken word:

${\displaystyle \int \int dA}$ (2D-oppervlak)

${\displaystyle \int \int \int dA}$ (3D-oppervlak),

waar daar oor die oppervlak geïntegreer word.

Nuttige formules

2D

Tweedimensionale areas

Algemene vergelykings van verskeie tweedimensionale voorwerpe:

Vorm	Vergelyking	Veranderlikes
Vierkant	${\displaystyle s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ is die lengte van die kant van die vierkant.
Reëlmatige seshoek	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ is die lengte van een kant van die seshoek.
Reëlmatige aghoek	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ is die lengte van een kant van die aghoek.
Enige reëlmatige poligoon (veelhoek)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}ap\,\!}$	${\displaystyle a}$ is die kortstraal, of die radius van 'n ingeskrewe sirkel in die poligoon, en ${\displaystyle p}$ is die omtrek van die poligoon.
Enige reëlmatige poligoon (veelhoek)	${\displaystyle {\frac {P^{2}/n}{4\cdot tan(\pi /n)}}\,\!}$	${\displaystyle P}$ is die Omtrek en ${\displaystyle n}$ is die aantal kante.
Enige reëlmatige poligoon (met gebruik van graadmeting)	${\displaystyle {\frac {P^{2}/n}{4\cdot tan(180^{\circ }/n)}}\,\!}$	${\displaystyle P}$ is die Omtrek en ${\displaystyle n}$ is die aantal kante.
Reghoek	${\displaystyle l\cdot w\,\!}$	${\displaystyle l}$ en ${\displaystyle w}$ is die lengtes van die reghoek se kante (lengte en breedte).
Parallelogram (in algemeen)	${\displaystyle b\cdot h\,\!}$	${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle h}$ is die lengte van die basis en die lengte van die loodregte hoogte, onderskeidelik.
Rombus	${\displaystyle {\frac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ is die lengtes van die twee hoeklyne van die rombus.
Driehoek	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b\cdot h\,\!}$	${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle h}$ is die basis and hoogte (gemeet loodreg na die basis), onderskeidelik.
Driehoek	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$	waar ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ (formule van Heron).
Driehoek	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot sinC\,\!}$	${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ van enige twee kante, en ${\displaystyle C}$ is die hoek tussen hulle.
Sirkel	${\displaystyle \pi r^{2}\,\!}$, of ${\displaystyle \pi D^{2}/4\,\!}$	${\displaystyle r}$ is die radius en ${\displaystyle D}$ die diameter.
Ellips	${\displaystyle \pi ab\,\!}$	${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is die semi-hoof en semi-minor aste, onderskeidelik.
Trapesoïed	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)h\,\!}$	${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is die parallel kante en ${\displaystyle h}$ die afstand (hoogte) tussen die parallele.
Totale oppervlakte area van 'n silinder.	${\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle h}$ is die radius en hoogte, onderskeidelik.
Syvlak area van 'n silinder	${\displaystyle 2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle h}$ is die radius en hoogte, onderskeidelik.
Totale oppervlakte area van 'n Konus	${\displaystyle \pi r(l+r)\,\!}$	${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle l}$ is die radius en skuinshoogte, onderskeidelik.
Syvlak area van 'n konus	${\displaystyle \pi rl\,\!}$	${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle l}$ is die radius en skuinshoogte, onderskeidelik.
Totale oppervlakte area van 'n sfeer	${\displaystyle 4\pi r^{2}\,\!}$ of ${\displaystyle \pi d^{2}\,\!}$	${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle d}$ is die radius en diameter, onderskeidelik.
Totale oppervlakte area van 'n ellipsoïdaal		Sien die artikel.
Sirkelvormige sektor	${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!}$	${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle \theta }$ is die radius en hoek (in radiale), onderskeidelik.
Vierkant na sirkelvormige area omskakeling	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}A\,\!}$	${\displaystyle A}$ is die area van die vierkant in vierkante eenhede.
Sirkelvormige na vierkante area omskakeling	${\displaystyle {\frac {1}{4}}C\pi \,\!}$	${\displaystyle C}$ is die area van die sirkel in sirkeleenhede.

3D

Algemene vergelykings van verskeie driedimensionale voorwerpe:

Vorm	Vergelyking	Veranderlikes
Totale oppervlakte area van 'n kubus	${\displaystyle 6s^{2}\,\!}$	waar ${\displaystyle s}$ die lengte is van 'n sy van die kubus.
Totale oppervlakte area van 'n reghoekige blok	${\displaystyle 2((l\cdot w)+(l\cdot h)+(w\cdot h))\,\!}$	waar ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle w}$ en ${\displaystyle h}$ onderskeidelik die lengte, breedte en hoogte van die blok is.
Totale oppervlakte area van 'n bol	${\displaystyle 4\pi r^{2}\,\!}$	waarin ${\displaystyle r}$ die straal van die bol is.
Totale oppervlakte area van 'n silinder	${\displaystyle 2\pi r(h+r)\,\!}$	waar ${\displaystyle r}$ die straal van die sirkelvormige basis is, en ${\displaystyle h}$ die hoogte van die silinder.
Totale oppervlakte area van 'n kegel	${\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {(r^{2}+h^{2})}})\,\!}$	waarin ${\displaystyle r}$ die straal van die sirkelvormige basis is, en ${\displaystyle h}$ die hoogte van die kegel is.
Totale oppervlakte van 'n torus	${\displaystyle 4\pi ^{2}Rr\!}$	waarin ${\displaystyle R}$ is die afstand vanaf die middelpunt van die buisie tot die middelpunt van die torus, ${\displaystyle r}$ is die straal van die buisie met die voorwaarde dat ${\displaystyle R>r}$
Oppervlakte van 'n sferiese driehoek	${\displaystyle (A+B+C-\pi )r^{2}}$	waar ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle C}$ is die hoeke van die driehoek en ${\displaystyle r}$ is die straal van die sfeer.

Wiskundige afleiding

Deur gebruik te maak van ${\displaystyle A=\int \int dA}$:

• reghoek: ${\displaystyle \int _{0}^{b}\int _{0}^{l}1dA=bl}$ (${\displaystyle b}$: breedte, ${\displaystyle l}$: lengte)

• sirkel: ${\displaystyle \int _{-y}^{y}\int _{-{\sqrt {R^{2}-y^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-y^{2}}}=\pi R^{2}}$. Uiteraard is dit eleganter om die sirkel polêr te beskryf en in 'n polêre assestelsel te integreer.

Sien ook

• Volume
• Sferoïde