数学 中,构型空间 (configuration space )是与物理学中的状态空间 或相空间 密切相关的构造,后者将整个系统的状态描述为高维空间的单点。数学中,这用于描述点集在拓扑空间 中的位置分布;更具体地,数学构型空间是几个非碰撞粒子的物理位形空间 的特殊例子。
圆上所有无序点对的构型空间是莫比乌斯带 。
对拓扑空间X 和正整数n ,令
X
n
{\displaystyle X^{n}}
为n 份X 的笛卡儿积 ,具备积拓扑 。X 的第n 个(有序)构型空间是X 中成对不同点的n 元组 的集合:
Conf
n
(
X
)
:=
X
n
∖
{
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
X
n
∣
x
i
=
x
j
for some
i
≠
j
}
.
{\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{ for some }}i\neq j\}.}
[ 1]
这空间通常赋以
Conf
n
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}
到
X
n
{\displaystyle X^{n}}
的子空间拓扑,有时也表示为
F
(
X
,
n
)
{\displaystyle F(X,n)}
、
F
n
(
X
)
{\displaystyle F^{n}(X)}
、
C
n
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(X)}
之类。[ 2]
在
Conf
n
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}
中的点上有自然的对称群
S
n
{\displaystyle S_{n}}
群作用 :
S
n
×
Conf
n
(
X
)
⟶
Conf
n
(
X
)
(
σ
,
x
)
⟼
σ
(
x
)
=
(
x
σ
(
1
)
,
x
σ
(
2
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}}
此作用产生了X 的第n 个无序构型空间,
UConf
n
(
X
)
:=
Conf
n
(
X
)
/
S
n
,
{\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},}
这是该作用的轨道空间。直觉是,这作用“遗忘了点的名字”。无序构型空间有时表为
U
C
n
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(X)}
、[ 2]
B
n
(
X
)
{\displaystyle B_{n}(X)}
、
C
n
(
X
)
{\displaystyle C_{n}(X)}
等。所有n 上的无序构型空间集合就是冉空间 (Ran space),具有自然的拓扑结构。
R
2
{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}
中两点的有序构型空间与欧氏3维空间同圆之积同胚 ,即
Conf
2
(
R
2
)
≅
R
3
×
S
1
.
{\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}.}
[ 2]
更一般地,
R
n
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
中两点的构型空间同伦 于球面
S
n
−
1
.
{\displaystyle S^{n-1}.}
[ 4]
R
2
{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}
中n 个点的构型空间是第n 个辫群 的分类空间。
若原空间X 是流形 ,则其有序构型空间就是X 的幂的开子空间,因此本身也是流形。不同无序点的构型空间也是流形,而不要求不同的无序点的构型空间则是轨形 。
构型空间是一种分类空间 或(精细)模空间 。特别地,有通用丛
π
:
E
n
→
C
n
{\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}
,其是平凡丛
C
n
×
X
→
C
n
{\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}
的子丛,具有这样的性质:每个点
p
∈
C
n
{\displaystyle p\in C_{n}}
上的纤维是由p 分类的X 的n 元子集。
还可以定义机械联动装置的构型空间,以图
Γ
{\displaystyle \Gamma }
为其底几何。通常假定这种图由刚性杆与链构成,其构型空间被定义为具有规范测度(proper metric)欧氏空间中所有可容位置的总和。一般联动装置的构型空间是光滑流形,例如对旋转关节连接的n 根刚性杆的平凡平面联动系统,其构型空间是n维环面
T
n
{\displaystyle T^{n}}
。[ 15] [ 16]
此类构型空间中最简单的奇异点是齐性二次超曲面上的圆锥与欧氏空间之积。这种奇异点见于可分为两子链的链接中,各自的端点轨迹非横断地相交,例如可对齐(align)链路(即完全折叠为一条线)。[ 17]
不同点的构型空间
Conf
n
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}
不是紧的,两端是汇。很多几何应用都要求紧空间,所以很有必要紧化
Conf
n
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}
,即将其嵌入具有合适性质的紧空间,成为开子集。拉乌尔·博特 和克利福德·陶布斯 [ 18] 以及威廉·富尔顿 和Robert MacPherson都提出了解决这一问题的方法。[ 19]
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