圓柱坐標系(英語:cylindrical coordinate system)是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標
專門用來表示 P 點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ,徑向距離、方位角、高度,分別標記為
。
定義
圓柱坐標
的坐標曲面。紅色圓柱面的
。藍色平面的
。黃色半平面的
。 z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑球表示)。點 P 的直角坐標大約為
。
用圓柱坐標
來表示一個點的位置
如圖右,P 點的圓柱坐標是
。
是 P 點與 z-軸的垂直距離。
是線 OP 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
與直角坐標的
等值。
符號約定
圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦(ρ, φ, z),這裡的ρ是徑向距離,φ是方位角,而z是高度。但是,徑向距離也常表示為r[1]或s,方位角也常表示為θ或t,高度坐標也常表示為h或x(如果圓柱軸被認為是水平的)或任何特定於上下文的字母。
坐標系變換
三維空間裏,有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。
直角坐標系
使用以下方程式,可以從直角坐標變換為圓柱坐標:
、
、
。
特別注意,當求取方位角時,必須依照
所處的象限來計算正確的反正切值。
相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標:
、
、
。
球坐標系
用球坐標
來表示一個點的位置
使用以下方程式,可以從球坐標變換為圓柱坐標:
、
、
。
相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標:
、
、
。
圆柱坐标系下的微积分公式
圓柱坐標系的坐標因子分別為
、
、
。
在許多關於圓柱坐標系的問題中,我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式;用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是
。
面積元素是
。
體積元素是
。
劈形算符表示為
。
拉普拉斯算子是
。
其它微分算子,像
,
,都可以用
坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
應用
圓柱坐標常被用來分析,選用 z-軸為對稱軸,有軸對稱特性的物體。例如,一個無限長的圓柱,具有直角坐標方程式
;用圓柱坐標來表示,有一個非常簡易的方程式
。這也是圓柱坐標系名稱的由來。
参见
參考資料
參閱