二次方程是一种整式方程,主要特点是未知项的最高次数是2,其中最常见的是一元二次方程[1]。
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■![{\displaystyle y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609c90205333da4f9593bfac6a8729009645e90f)
■![{\displaystyle y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a934e06e38f647f68e790c32764ae2e05e6d28)
■![{\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1b11f348af37ef5aebd1d36a140cac645db631)
一元二次方程根的判别式為
。
若
,則該方程有两個不相等的實数根:
;
若
,則該方程有两個相等的實数根:
;
若
,則該方程有一對共軛複數根:
。
由上可知,在實數範圍內求解一元二次方程,當
時,方程纔有根(有兩個不等實數根或兩個相等實數根);當
時,方程有两个复数根,但是在实数范围无解。
中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式,并把方程的未知数叫做「根」,其后译成拉丁文radix。
我们通常把
称之为
的求根公式:
或不將
係數化為1:
设
(
),
对
求导,得
![{\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d05285a53974c22999b8cff9699742b48e8fc8)
令
,得
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d047b38c940a8cdcfc2d4d2f772f8def5862018c)
即为
的极值点,该式亦为函数图形(即抛物线)的对称轴方程。
将
代入
,可得
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463336b0b956906b1f1a34d2f9db990df78c442e)
即为
的极值。
根据函数取极值的充分条件,即:
,
是
的极大值点,
,
是
的极小值点;
由
,可知:
当
时(抛物线开口向下),
为
的极大值点;
当
时(抛物线开口向上),
为
的极小值点。