集合族

在集合论和有关的数学分支中，给定集合S 的子集的类F 叫做S 的子集族（或称S 上的集合族）。更一般的说，无论什么任何集合的类都叫做集合族。

例子

• 幂集P(S )是在S 上的集合族。
• n元素集合S 的k 元素子集S ^{(k )}形成了集合族。
• 所有序数的类Ord是“大”集合族；它自身不是集合而是真类。
• 令S = {a,b,c,1,2}。（在多重集含义上的） S 上集合族的一个例子是当 A₁ = {a,b,c}，A₂ = {1,2}，A₃ = {1,2}，A₄ = {a,b,1} 时的 F = {A₁, A₂, A₃, A₄}。
• 样本空间的某些子集组成的集合叫做集合族。

特例

• 斯伯纳族（英语：Sperner_family）是一个其中任何集合都不是其他集合的子集的集合族。斯伯纳定理（英语：Sperner%27s_theorem）限定了斯伯纳族的最大阶。
• 赫利族（英语：Helly_family）是一个任何交集为空的最小子族的阶有界的集合族。赫利定理（英语：Helly%27s_theorem）表明，有限维欧几里得空间中的凸集形成了赫利族。

性质

• S 的任何子集族自身都是幂集P(S )的子集。
• 不论什么集合族都是所有集合的真类（全集）V的子类。
• 由菲利浦·赫尔提出的赫尔婚姻定理给出了非空集(允许重复)的有限族具有互异代表元系的充要条件。^[1]

C族

最简单的集合族是由有限集M 的全体子集所构成的，简称为C 族。^[2]C 族有以下基本的性质： 设${\displaystyle \left|M\right|=n}$,则集合M 的全部子集构成的类M* 的阶为${\displaystyle 2^{n}}$， 即${\displaystyle \left|M*\right|=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots +C_{n}^{n}=2^{n}}$

参见

1. 存档副本. [2020-07-12]. （原始内容存档于2020-07-13）.
2. 刘诗雄《数学奥林匹克小丛书·高中卷·集合》，2012，第43页