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费利克斯·克莱因（德語：Felix Klein，1849年4月25日—1925年6月22日），德国数学家。克莱因生于德国杜塞多夫，在埃尔朗根、慕尼黑和莱比锡当过教授，最后在哥廷根教授数学。他的主要课题是非欧几何、群论和复变函数论。他发布的爱尔兰根纲领将各种几何用它们的基础对称群来分类，是对当时多个数学分支的一个综合导向，影响深远。1895年，克莱因出版了《初等几何的著名问题》（Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie），借此成为第一个给出几何学三大作图难题的简明论证的数学家。[1]他死于哥廷根，終年76歲。
提示：此条目的主题不是莫里斯·克莱因。| 费利克斯·克莱因 Felix Klein 费利克斯·克里斯蒂安·克莱因 （Felix Christian Klein） | |
|---|---|
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| 出生 | 1849年4月25日 日耳曼邦聯普魯士王國莱茵省杜塞尔多夫 |
| 逝世 | 1925年6月22日（76歲） 魏瑪共和國普魯士邦汉诺瓦省哥廷根 |
| 国籍 | 魏瑪共和國 |
| 母校 | 波恩大学 |
| 知名于 | 爱尔兰根纲领 克莱因j不变量 克莱因瓶 凯莱-克莱因模型 克莱因百科全书 |
| 奖项 | 德摩根奖章（1893年） 科普利奖章（1912年） |
| 科学生涯 | |
| 研究领域 | 数学 （抽象代数、非欧几何、复分析） |
| 机构 | 埃尔朗根-纽伦堡大学 慕尼黑工业大学 莱比锡大学 哥廷根大学 |
| 博士導師 | 尤利乌斯·普吕克和鲁道夫·利普希茨 |
| 博士生 | Ludwig Bieberbach 馬克西姆·博謝 Oskar Bolza Frank Nelson Cole Henry B. Fine Erwin Freundlich Robert Fricke Philipp Furtwängler Axel Harnack 阿道夫·赫維茲 埃德瓦·卡斯内尔 费迪南德·冯·林德曼 亚历山大·奥斯特洛夫斯基 Julio Rey Pastor Hermann Rothe Virgil Snyder 威廉·愛德華·史都瑞 Edward Van Vleck Henry Seely White Alexander Witting 格蕾丝·奇斯霍姆·杨 Walther von Dyck |
| 施影响于 | 大卫·希尔伯特 西奥多·冯·卡门 |
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“克莱因”（Klein）这个姓氏在德文中是“小”的意思。“费利克斯”（Felix）则源于拉丁文，意为“幸运儿”。
1849年4月25日，费利克斯·克莱因（Felix Klein）出生于德国杜塞尔多夫[2]。他的父母是普鲁士人，父亲名叫卡斯帕·克莱因（Caspar Klein, 1809–1889），是莱茵省政府官员的秘书；母亲本名为索菲·艾丽瑟·凯瑟（Sophie Elise Kayser, 1819–1890）[3]。他就读于杜塞尔多夫当地的文理中学（Gymnasium），后来于1865–1866年间在波恩大学攻读数学和物理[4]，目标是成为物理学家。他的老师尤利乌斯·普吕克本来是波恩大学的数学与实验物理教授。但当克莱因1866年来当他的助手时，普吕克的研究兴趣已经转向了几何学。1868年，克莱因在导师普吕克的指导下，取得了博士学位。
1868年，普吕克逝世，留下一本讲述线式几何的未完成遗著《新式空间几何》（Neue Geometrie des Raumes）。为完成该书，克莱因次年去拜访了转到哥廷根大学任教的阿尔弗雷德·克莱布什，并游历了柏林和巴黎。1870年7月，普法战争刚刚爆发，尚在巴黎的他不得不离开法国；战争期间，他曾在普鲁士陆军短暂担任过医护员工作。1871年，他前往哥廷根大学担任讲师。
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克莱因自从在与亨利·庞加莱的竞争中累倒后，就逐渐将工作侧重点转移到数学教育和学校建设上来。他把许多一流人才都吸引到哥廷根大学来，定期举办名家云集的高水平研讨会，延续了高斯、黎曼时代“哥廷根学派”在科学领域的辉煌。世界数学中心没有因为法国数学家庞加莱的迅速崛起而被法国重新抢去。与由自己招到哥廷根任职的学生大卫·希尔伯特不同，克莱因认为应用数学与理论数学应该并重地发展，在哥廷根大学一度被边缘化的应用科学家如西奥多·冯·卡门等人都曾受到克莱因的积极鼓励。
克莱因认为中学教师应该多接触高等数学，以保证培养出来的学生的知识面不会出现断层；并认为当时出现的中学教师不关心高等数学发展的风气并不可取。为中学教师普及高等数学的思想就是他创作《高观点下的初等数学（Elementary Mathematics from a Higher Standpoint）》的初衷。其次，克莱因认为精确数学和近似数学应该并重，不应该因为近似数学听起来不够完美化而忽视它的重要性，更不能对发展应用类的数学加以贬低。为此，他在《高观点下的初等数学》丛书中专门花了1册书的篇幅讨论近似数学。而且在第3册里提及当时新出现的电影技术时，他曾设想现实世界所发生的一切有可能和电影画面一样是由一个个不连续的片段所组成的。值得注意的是，这本书问世的时候，马克斯·普朗克已经提出了量子化假说。
克莱因的另一名作《数学在19世纪的发展》（德語：Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19）是后人研究19世纪数学思潮发展的重要著作之一。
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大卫·希尔伯特自称与克莱因保持着“完全的信赖和共同的兴趣”，但是希尔伯特对克莱因晚年关心的技术发展、中小学教育、行政管理等许多杂事兴趣不大。[5]
- 费利克斯·克莱因. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 [数学在19世纪的发展]. 数学翻译丛书 第1卷. 齐民友 (翻译) 中译本第1版. 高等教育出版社. 2010. ISBN 9787040288865 （中文（中国大陆））.
- 《高观点下的初等数学》共3卷：
- 费利克斯·克莱因. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry [高观点下的初等数学：几何] 第2卷. 美国纽约: 多福出版社. 2004. ISBN 0-486-43481-8 （英语）.
- 费利克斯·克莱因. Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus [高观点下的初等数学]. 西方数学文化理念传播译丛. 第2卷“几何” 中文版第1版. 复旦大学出版社 （中文（中国大陆））.
- 费利克斯·克莱因. Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus [高观点下的初等数学]. 西方数学文化理念传播译丛. 第3卷“精确数学与近似数学”. 吴大任 (汉译者); 陈[受鸟] (汉译者, 其中“受鸟”是一个合字); 1991年第1版. 复旦大学出版社. 2008年9月. ISBN 978-7-309-05982-3.
- 费利克斯·克莱因. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry [高观点下的初等数学：几何] 第2卷. 美国纽约: 多福出版社. 2004. ISBN 0-486-43481-8 （英语）.
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