在平面几何中,角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形
中,
的内角平分線交对边
于点
,外角平分線交直线
于点
,则三角形的内、外角平分線的长度为:
![{\displaystyle AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9a83aee04f10149c32ef5bf21c2e66758d4ff2)
![{\displaystyle AE={\sqrt {EB\cdot EC-AB\cdot AC}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444c1b1a09a5cf8f87f862f4d9cd3bc81481c7e7)
三角形的内、外角平分线
若记
边长为
,
边长为
,
边长为
,记内角平分線
长为
,外角平分線
长为
,则三角形的内、外角平分線的长度可以表示为:
![{\displaystyle ={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b5382c76041a0e2bf1cfde765f625307944b99)
![{\displaystyle ={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1b2ae2e8373441786847fbbadf0a199ca4bbf5)
|
![{\displaystyle ={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f74e9e82ea7618e859e11728090ed708c2ed614)
![{\displaystyle ={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c3cf878668232903dfdd43ea10acec68f854ed)
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证明
三角形ABC以及關於角A的平分線
内角平分线长
作
的内角平分線交对边
于点
。延长
至点
,使
。
![{\displaystyle \triangle AEB\sim \triangle ACD\Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2dbf2245a2ce4ed64402e5f6ab1af0be116ec4)
![{\displaystyle \triangle DEB\sim \triangle DCA\Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5828d9f234273dffab28b8f0dc08a71288b66916)
![{\displaystyle AD^{2}=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c006636e8432d6c93caed0e9117e5d11f4c81bd8)
得内角平分线长公式(i):[1][2][3]
![{\displaystyle AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9a83aee04f10149c32ef5bf21c2e66758d4ff2)
外角平分线长
作
的外角平分線交直线
于点
。延长
至点
,使
。
![{\displaystyle \triangle AE'B\sim \triangle ACD'\Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08aa7071919af9ac6f504b61e79720a3d2070b34)
![{\displaystyle \triangle D'E'B\sim \triangle D'CA\Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74bd52e763d435809b27c33aaad193d491c80b3)
![{\displaystyle AD'^{2}=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29563914ee938e548a8db2a8b844f98a1e037ee)
得外角平分线长公式(i):[2]
![{\displaystyle AD'={\sqrt {D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18e6ea2356a20e50a13f140bdfb6241079c40d4)
推导
根据角平分线定理,有:[4]
![{\displaystyle DB={ac \over b+c},\ DC={ab \over b+c}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4df22dfb668a1c4867380a59e3ec54e04149f6)
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![{\displaystyle D'B={ac \over |b-c|},\ D'C={ab \over |b-c|}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e34c4ce1d00d964c425a0c1ef04747144298af)
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代入式(i),得到角平分线长公式(ii):[5][3]
![{\displaystyle t_{a}={\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f74ad9ed386a8c0450e312a08a5329dd4296e0)
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![{\displaystyle t_{a}'={\sqrt {bc({a^{2} \over (b-c)^{2}}-1)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e65c0d8c246f3af95e8b27a6b212a7fe20be49)
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将余弦公式代入式(ii),得到角平分线长公式(iii):
![{\displaystyle t_{a}={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17ac69fdefdcdfda6d8b2b7afb19151ded18556)
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![{\displaystyle t_{a}'={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af82856b7950a977cceb619bf499d5087c5fb6c8)
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将半角公式代入式(iii),得到角平分线长公式(iv):[6]
![{\displaystyle t_{a}={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a24213215eefee6188ba30abac9488e85ad4bf)
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![{\displaystyle t_{a}'={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7867626821be847503e17850a36d4732a5915d15)
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与其他定理的关系
斯图尔特定理
角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况,或者说推论。根据斯图尔特定理,对于三角形
的任意一边
上的任意一点
,有:
![{\displaystyle AD^{2}=AB^{2}\cdot {DC \over BC}+AC^{2}\cdot {DB \over BC}-DB\cdot DC}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec30835ee2b06a0f4ec4220413a6f2e7aa6fcc9)
当点
是内角平分线足时,根据角平分线定理,有:
![{\displaystyle {AB \over DB}={AC \over DC}={AB+AC \over BC}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01d86547bb501d5ca9fe622a379ad9a4c353aa6)
联立之后,即可得到内角平分线长公式(i)或(ii)。同理,可以推出外角平分线长公式(i)或(ii)。[5][2]
施泰纳-莱穆斯定理
利用角平分線長公式,可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形。[7]
![{\displaystyle t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d9f89507cef8abc7665811c216137b3726286c)
化简后得到:
连乘的其他各项都为正数,从而推出:
名称
在欧美,角平分線長公式没有特殊的名称。[5][2][7]在中国大陆,内角平分線長公式(i)被称为“斯库顿定理”,归功于荷兰数学家弗兰斯·范斯霍滕。[1][8][9]而在欧美,范斯霍滕定理指的是等边三角形外接圆的一个性质,与三角形角平分线无关。[10]
參見
参考文献
孙建斌. Schooten定理的证明. 数学教学研究. 1986, (1): 3-6.
别列标尔金. 初等几何学教程 上卷. 马忠林 (译). 北京: 高等教育出版社. 1955: 202-204.
Hadamard, Jacques. Leçons de géométrie élémentaire (géométrie plane). Paris: Armand Colin et Cie. 1898: 122-125 (法语).
刘运谊. 斯库顿定理及其应用. 数学教学通讯. 1994, (6): 12+39.
Raymond, Viglione. Proof Without Words: van Schooten's Theorem. Mathematics Magazine. 2016, 89 (2): 132 (英语).