皮匠刀問題

幾何學中，皮匠刀問題（中國和日本常稱為圓內容累圓術）研究皮匠刀（英语：Arbelos）中一列互相外切又與皮匠刀的邊界相切的圓的性質。皮匠刀（英语：Arbelos）是三個半圓所包圍的部分，在大半圓直徑${\displaystyle AB}$上任取一點${\displaystyle C}$，以${\displaystyle AC}$及${\displaystyle CB}$為直徑在同一方向分別作半圓，便得到了皮匠刀。帕普斯證明了該列互相外切的圓的半徑與其圓心到${\displaystyle AB}$距離的關係。^[1]此列圓又稱為帕普斯鏈（Pappus chain）。

皮匠刀（填色部分）及其內的帕普斯鏈

問題概述

設在皮匠刀內有一連串互相外切的圓${\displaystyle Q_{1}}$、${\displaystyle Q_{2}}$、${\displaystyle Q_{3}}$、⋯（同時又切於兩半圓的弧），則各圓圓心${\displaystyle Q_{n}}$到直線${\displaystyle AB}$的距離${\displaystyle D_{n}}$及其半徑${\displaystyle r_{n}}$、滿足
$${\displaystyle D_{n}=2nr_{n}}$$

證明

反演證法

皮匠刀問題的反演證法

以點${\displaystyle A}$為反演中心作與圓${\displaystyle Q_{n}}$正交的圓。以${\displaystyle AB}$及${\displaystyle AC}$為直徑的半圓會被反演成垂直於${\displaystyle AB}$，與${\displaystyle Q_{n}}$相切的兩條射線${\displaystyle Q_{AC}^{*}}$及${\displaystyle Q_{AB}^{*}}$。而${\displaystyle Q_{1}}$到${\displaystyle Q_{n-1}}$的其他圓則會被反演成直徑相等，互相外切且與${\displaystyle Q_{AC}^{*}}$及${\displaystyle Q_{AB}^{*}}$這兩條平行線相切的一連串的圓。而以${\displaystyle BC}$為直徑的半圓反演變換後的圖像類似於${\displaystyle Q_{1}^{*}}$，而其圓心在${\displaystyle AB}$上。由圖像易知上等式成立。 ^[2]

參考資料

1. 梁, 宗巨. 數學歷史典故，帕波斯 (PDF). 遼寧教育出版社. 1992: 248–249 [2023-01-22]. （原始内容存档 (PDF)于2023-01-22）.
2. Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 157–158. ISBN 978-1-61444-411-4.