在数学中,有限域(英語:finite field)或伽罗瓦域(英語:Galois field,为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名)是包含有限个元素的域。与其他域一样,有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时,整数对 p 取模。
有限域的元素个数称为它的阶。
有限域在许多数学和计算机科学领域的基础,包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。
- 有限域的阶(有限域中元素的个数)是一个素数的幂。
- 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的
阶的有限域,并且所有元素都是方程
的根,该域的特征为p。
- 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限體,则存在
使得
。
- 有限域是完美域,即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
- 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张,并且对应的伽罗瓦群是循环群。
設 q = pn 為質數冪, F 為多項式
![{\displaystyle P=X^{q}-X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1cd4ae6f42df843c85a8f7a92970c6b57b7356)
於質數域 GF(p) 上的分裂域。換言之, F 是最低階的有限域,使得 P 在 F 內有 q 個互異的根(注意 P 的形式導數為
,因此 P 無重根)。
利用二項式定理,可證恆等式
![{\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9c35247ed004b6fe4b3b4ca807e0e558a8a94f)
在特徵為 p 的域上成立(中一新生之夢)。此恆等式說明 P 任兩根之和或積仍為 P 的根。同時, P 的根的乘法逆元仍是根,因此 P 的根構成一個 q 階的域。由 F 的最小性,可知此域即為 F。
由於分裂域在同構意義下唯一, q 階域也在同構意義下唯一(已證其為
的分裂域)。而且,若域 F 有一個階為
的子域,則其元素恰為
的 q 個根,所以 F 不能包含另一個階為 q 的子域。
E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理,可作為本節的總結:[1]
- 有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪 q, 都存在 q 階的域,並且任意兩個 q 階的域都同構。該些域中,任意的元素 x 都滿足
![{\displaystyle x^{q}=x,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b801980e4e4e1e4f6e339b001ac263933e1400)
- 且多項式 Xq − X 可分解成
![{\displaystyle X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5363b844e3f482ec46bf6669f7bafa9ec54237ba)
由此可知,GF(pn) 有同構於 GF(pm) 的子域當且僅當 m 整除 n;該情況下,僅有唯一的子域與 GF(pm) 同構。多項式 Xpm − X 整除 Xpn − X 也是當且僅當 m 整除 n.
設 p 為質數, q = pn 為質數冪。
在 GF(q) 中,恆等式 (x + y)p = xp + yp 說明映射
![{\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{p}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7b6ab3b06a3f2339f542217b2079ff35391dfc)
是 GF(q) 上 GF(p)-線性的域自同構,其保持子域 GF(p) 的元素。該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構,得名於费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。
記 φk 為 φ 的 k 次疊代,則
![{\displaystyle \varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a953e4ee0207e38d99bb714e12ec6e974f93929e)
此前已證明 φn 為恆同映射。若 0 < k < n, 則自同構 φk 並非恆同映射,否則多項式
![{\displaystyle X^{p^{k}}-X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61acbb56af5042aacfed225f80688e14c452796a)
就有多於 pk 個根,矛盾。
此外 GF(q) 並無其他 GF(p)-自同構。換言之,GF(pn) 恰有 n 個 GF(p)-自同構,其為
![{\displaystyle \mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3543b0e9a296fe2cdcbcd1714c52ebeca0538e9f)
以伽羅瓦理論觀之, GF(pn) 是 GF(p) 的伽羅瓦擴展,且其伽羅瓦群為循環群。
弗羅貝尼烏斯映射為滿射,因此任意一個有限域都是完美域。
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方程的根不在F2中。記其中一根為A, 則
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Moore, E. H., A doubly-infinite system of simple groups, E. H. Moore; et al (编), Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co.: 208–242, 1896