无平方因子数

无平方因子数^[1]（英語：square-free integer）是指其因數中，沒有一個是平方數的正整數。簡言之，將一個這樣的數予以質因數分解後，所有質因數的冪都不會大於或等於2。例如：54=${\displaystyle }$${\displaystyle 2\times 3^{3}}$，由於54有因數是平方數（${\displaystyle 3^{2}=9}$），所以54不是无平方因子数；而55=${\displaystyle }$${\displaystyle 5\times 11}$，55沒有因數是平方數，所以55是无平方因子数。

以數學概念說明：若一個數${\displaystyle R}$是无平方因子数，則對於任意平方數${\displaystyle S^{2}}$且${\displaystyle S^{2}\leq R}$則${\displaystyle S^{2}\nmid R}$；或者說當${\displaystyle R=P_{1}P_{2}P_{3}...P_{n}}$且${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},...,P_{n}}$皆為質數時，對於任意${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$，${\displaystyle i\neq j}$而言，${\displaystyle P_{i}\neq P_{j}}$

另一方面，默比乌斯函数${\displaystyle \mu (n)\neq 0}$當且僅當${\displaystyle n\geq 1}$且${\displaystyle n=1}$或${\displaystyle n}$為无平方因子数時

前20個無平方因數的數是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31（OEIS數列A005117）

由於无平方因子数的所有質因數指數均為一次方，故除1以外，有關數的正因數數目必定是2的非負整數次方。

將无平方因子数分解為兩數之積，這兩數一定互質。^{[查证请求][來源請求][原創研究？]}

依定義，顯然所有的質數、楔形数、質數階乘與有4個正因數的半質數都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

${\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})}$

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}}$

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.}$

參考文獻

1. 张鸿林; 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社. 2005: 703. ISBN 9787302098935. square-free number 无平方因子数