整环(Integral domain),又譯作整域,是抽象代數中的一个概念,指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0,以除去平凡的环
。整环是整数环的抽象化,它很好地继承了整数环的整除性质,使得我们能够更好地研究整除理论。
提示:此条目页的主题不是
整数环。
整环也可以定义为理想
是素理想的交换环,或交换的无零因子环。
设
是一个交换环,存在
,
(0为加法单位元),使得
(存在乘法单位元)
并且对任意的
,如果
,那么或者
,或者
。用数学方式表示为:
(没有零因子)
就称其为整环[1]:19。
定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的消去律替代:如果
,并且
,那么
[2]:119。用数学方法表示就是:
![{\displaystyle \forall (a,b,c)\in {\mathcal {R}}^{3},\ (a\times c=b\times c\;\;\land \;\;c\neq 0)\quad \Rightarrow \quad a=b.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c414848295dad9e0190c267f222de0353b417a99)
- 整环的代表性例子是整数环
。
是一个交换环,并且乘法单位元1不等于加法单位0。最后,两个整数相乘等于0,则必然有其中一个等于0。
- 多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环
和实系数二元多项式环
。
- 每个域都是整环[2]:122。相对的,每个阿廷整环都是域。特别地,每个有限的整环都是有限域。整数环
就是一个非阿廷整环不是域的例子,因为它有无穷递降的理想列:
![{\displaystyle \mathbb {Z} \;\supset \;2\mathbb {Z} \;\supset \;\ldots \;\supset \;2^{n}\mathbb {Z} \;\supset \;2^{n+1}\mathbb {Z} \;\supset \;\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c304715aeb75565865b4867b57e81ad521e533)
- 对每个整数
,
是实数域
的子环,因此是整环。
是复数域
的子环,因此是整环。当
时,后者被称为高斯整数环。
- 若
是一个交换环,
是
的一个理想,那么商环
是整环当且仅当P是素理想。由此可推出
是整环当且仅当
是素理想。
在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质。
a与b是R中的两个元素,定义a整除b或a是b的约数或b是a的倍数,当且仅当存在R中的一个元素x使得ax = b。
整除关系满足传递性,即a整除b,b整除c推出a整除c。a整除b,则a整除b的所有倍数。a的两个倍数的和与差仍是a的倍数。
1的约数称为R的可逆元。可逆元整除所有元素。
若a整除b并且b整除a,则称a与b相伴。a与b相伴当且仅当存在可逆元u使得au = b。
非可逆元q称为既约元,如果q不能写成两个非可逆元的乘积。
如果p不是零元或可逆元,且对任意a,b,如果p整除ab可推出p整除a或p整除b,则称p为素元。
这两个定义是整数环中素数的推广。如果p是素元,那么p生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元,但反过来则只有当R是唯一分解环才正确。
(英文)Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. American Mathematical Society. 2010年8月. ISBN 978-0821847411.