数学 中，几何代数 （也称作实克利福德代数 ）是初等代数 的推广，用于处理向量 等几何对象。几何代数由加法与几何积两种基本运算组成，向量的乘积是更高维对象，称作多重向量 。与其他处理几何对象的形式相比，几何代数在支持不同维度的对象的向量除法与加法方面具有优势。
几何积最早由赫尔曼·格拉斯曼 简单提及，:6 他的兴趣主要在于发展与之紧密相关的外代数 。1878年，威廉·金顿·克利福德 大大扩展了格拉斯曼的工作，形成现在所谓克利福德代数 以纪念他（虽然克利福德自己称之为“几何代数”）。克利福德将克利福德代数及其积定义为格拉斯曼代数 和哈密顿的四元数代数 的统一。加上格拉斯曼外积的对偶 （“相遇”）就可以使用格拉斯曼–凯莱代数 ，后者的共形版本 与共形克利福德代数一起产生了共形几何代数 （CGA），为经典几何 提供了框架。:411 实践中，这些运算和一些可派生运算可将代数的元素、子空间、运算同几种几何解释对应起来。几十年来，几何代数有些被忽视了，因为当时为描述电磁学产生的向量分析 挤占了几何代数的地盘。1960年代，“几何代数”由大卫·黑斯廷斯 重新发掘出来，主张其对相对论物理学的重要性。
标量和向量有其通常的解释，并构成几何代数的不同子空间。二重向量 可更自然地表示向量分析 中的伪向量，如有向面积、旋转的有向角度、挠、角动量与电磁场。三重向量可表示有向体积，等等。称作刃 的元素可用于表示V 的子空间，及其上的正交投影 。旋转与反射也可用元素表示。不同于向量分析，几何代数可自然地容纳任何维度和任何二次型，如相对论 中的二次型。
几何代数在物理学中的应用有时空代数 （及不太常见的物理空间代数 ）与共形几何代数 。几何微积分 是几何代数的推广，包含了微分 和积分 ，可用于形成其他理论，如复分析 和微分几何 ，例如用克利福德代数代替微分形式 。大卫·黑斯廷斯和Chris Doran等人一直主张将几何代数作为物理学 的主要数学框架。支持者声称，几何代数为包括经典力学 、量子力学 、电磁学 、相对论 等许多领域提供了紧凑而直观地描述。几何代数还被用作计算机图形学 [ 7] 机器人学 的计算工具。
几何代数有多种定义。黑斯廷斯最初的定义是公理化的、:3–5 “充盈着几何意义”，等价于泛克利福德代数。:101 给定域 F 上的有限维向量空间V ，并配备对称双线性形式（即内积，如欧氏或洛伦兹度量 ）
g
:
V
×
V
→
F
{\displaystyle g:V\times V\to F}
二次空间
(
V
,
g
)
{\displaystyle (V,g)}
几何代数 是克利福德代数
Cl
(
V
,
g
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}
F
=
R
{\displaystyle F=\mathbb {R} }
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}
G
(
p
,
q
,
r
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}
g 具有符号
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
(
p
,
q
,
r
)
{\displaystyle (p,q,r)}
代数中的本质积称作几何积，包含的外代数的积称作外积（更多叫楔积 [ a]
∧
{\displaystyle \wedge }
A
,
B
,
C
∈
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}
A
B
∈
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}
封闭 ）
1
A
=
A
1
=
A
{\displaystyle 1A=A1=A}
1
{\displaystyle 1}
单位元 的存在）
A
(
B
C
)
=
(
A
B
)
C
{\displaystyle A(BC)=(AB)C}
结合律 ）
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle A(B+C)=AB+AC}
(
B
+
C
)
A
=
B
A
+
C
A
{\displaystyle (B+C)A=BA+CA}
分配律 ）
a
2
=
g
(
a
,
a
)
1
{\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}
a 是代数子空间V 的任意元素。外积具有相同的性质，只是最后一条改为
a
∧
a
=
0
,
∀
a
∈
V
{\displaystyle a\wedge a=0,\ \forall a\in V}
注意，在上述最后一个性质中，若g 不是正定的，则实数
g
(
a
,
a
)
{\displaystyle g(a,a)}
∀
a
→
{\displaystyle \forall {\vec {a}}}
a
2
≠
0
{\displaystyle a^{2}\neq 0}
a
−
1
{\displaystyle a^{-1}}
g
(
a
,
a
)
−
1
a
{\displaystyle g(a,a)^{-1}a}
u
→
∈
V
{\displaystyle {\vec {u}}\in V}
u
2
=
1
{\displaystyle u^{2}=1}
1
2
(
1
+
u
)
{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}
零除子 ，于是没有逆。[ b]
通常将
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
V 与其在自然嵌入
R
→
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}
V
→
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
V 的元素（及它们在此嵌入下的像）。
给定两向量a 、b ，若其几何积
a
b
{\displaystyle ab}
a
⋅
b
=
0
{\displaystyle a\cdot b=0}
a
∧
b
=
0
{\displaystyle a\wedge b=0}
实外代数中
n 次元素的几何解释：
n
=
0
{\displaystyle n=0}
（有符号点）、
1
{\displaystyle 1}
（有向线段或向量）、
2
{\displaystyle 2}
（有向面元）、
3
{\displaystyle 3}
（有向体积） 。
n 个向量的外积可直观视作任何
n 维形状（如
n -
超平行体 、
n -
椭球 ）；其大小（
超体积 ）和
方向 由(n-1)维边界上的方向和内部哪一边的方向定义。
:83 可将任意两向量a 、b 的几何积写成对称积与反对称积之和：
a
b
=
1
2
(
a
b
+
b
a
)
+
1
2
(
a
b
−
b
a
)
{\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)}
于是可以定义内积[ c]
a
⋅
b
:=
g
(
a
,
b
)
,
{\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}
于是，对称积可写作
1
2
(
a
b
+
b
a
)
=
1
2
(
(
a
+
b
)
2
−
a
2
−
b
2
)
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b}
反之，g 完全由代数决定。反对称部分是两个向量的外积，即含外代数 部分之积：
a
∧
b
:=
1
2
(
a
b
−
b
a
)
=
−
(
b
∧
a
)
{\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a)}
那么从简单加法就能有：
a
b
=
a
⋅
b
+
a
∧
b
{\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}
内外积与标准向量代数中的相应概念有关。几何上，若a 和b 的几何积等于其内积，则就是平行 的；若等于其外积，则就是垂直 的。在几何代数中，非零向量的平方都是正的，因此两向量的内积可视作标准向量代数的点积 。两向量外积可用向量形成的平行四边形 所包围的有向面积 来表示。3维中具有正定二次型的两向量之叉积 与其外积密切相关。
大多数相关几何代数的实例都具有非退化二次型 。若二次型是完全退化的，则任意两向量的内积总是零，几何代数就是简单的外代数。除非另有说明，本文只讨论非退化几何代数。
外积可自然推广为代数中任意两元素之间的结合双线性算子，且满足
1
∧
a
i
=
a
i
∧
1
=
a
i
a
1
∧
a
2
∧
⋯
∧
a
r
=
1
r
!
∑
σ
∈
S
r
sgn
(
σ
)
a
σ
(
1
)
a
σ
(
2
)
⋯
a
σ
(
r
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}
其中，和是对指数的所有排列，
sgn
(
σ
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
交替代数 。
克利福德代数的等价结构方程为:2338 :2346
a
1
a
2
a
3
…
a
n
=
∑
i
=
0
[
n
2
]
∑
μ
∈
C
(
−
1
)
k
P
f
(
a
μ
1
⋅
a
μ
2
,
…
,
a
μ
2
i
−
1
⋅
a
μ
2
i
)
a
μ
2
i
+
1
∧
⋯
∧
a
μ
n
{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}
其中
P
f
(
A
)
{\displaystyle Pf(A)}
A 的普法夫值 ，
C
=
(
n
2
i
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}
n 个索引分为2i n-2i 组合
μ
{\displaystyle \mu }
k 是组合 的奇偶性 。
普法夫值为外代数提供了度量。另外，正如Claude Chevalley指出的，克利福德代数可还原为二次型为零的外代数。从几何角度看，可从单纯形 出发，发展克利福德代数，来理解普法夫值所起的作用。这种推导为杨辉三角 和单纯形之间提供了更好的联系，因为提供了对杨辉三角第一层一个1的解释。
多重向量是r 个线性独立向量的外积，称作一个刃（blade），次数为r （grade）。[ e] r 次刃之和形成的多重向量称作（齐性）r 次多重向量。根据公理与闭包，几何代数中的多重向量都是刃之和。
考虑r 次线性独立向量集合
{
a
1
,
…
,
a
r
}
{\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}
r 维子空间，之后就可定义实对称矩阵 （与构造格拉姆矩阵 的方法相同）：
[
A
]
i
j
=
a
i
⋅
a
j
{\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}
根据谱定理 ，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
正交矩阵
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
对角矩阵
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
∑
k
,
l
[
O
]
i
k
[
A
]
k
l
[
O
T
]
l
j
=
∑
k
,
l
[
O
]
i
k
[
O
]
j
l
[
A
]
k
l
=
[
D
]
i
j
{\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}
定义一组新的向量
{
e
1
,
…
,
e
r
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}
e
i
=
∑
j
[
O
]
i
j
a
j
{\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}
由于正交变换保内积，所以
e
i
⋅
e
j
=
[
D
]
i
j
{\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}
{
e
1
,
…
,
e
r
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}
e
i
≠
e
j
{\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}
e
1
e
2
⋯
e
r
=
e
1
∧
e
2
∧
⋯
∧
e
r
=
(
∑
j
[
O
]
1
j
a
j
)
∧
(
∑
j
[
O
]
2
j
a
j
)
∧
⋯
∧
(
∑
j
[
O
]
r
j
a
j
)
=
(
det
O
)
a
1
∧
a
2
∧
⋯
∧
a
r
{\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}
于是，r 次刃都可写作r 个向量的外积。更一般地，若允许退化几何代数，则正交矩阵将被替换为非退化块中正交的分块矩阵 ，对角阵的零值项沿退化维度分布。若非退化子空间的新向量是归一化的单位向量：
e
^
i
=
1
|
e
i
⋅
e
i
|
e
i
,
{\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}
则这些归一化向量必须平方为
±
1
{\displaystyle \pm 1}
西尔维斯特惯性定理 指出，沿对角阵的
+
1
{\displaystyle +1}
−
1
{\displaystyle -1}
+
1
{\displaystyle +1}
p 、得
−
1
{\displaystyle -1}
q 也是不变的。（平方为零的基向量总数也不变，若允许退化情形，则可能不为零。）记此代数为
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}
G
(
3
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}
欧氏空间 的模型，
G
(
1
,
3
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}
时空 。
G
(
4
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}
共形几何代数 。
索引依次递增的n 个正交基向量的所有可能积集合，包括作为空积的
1
{\displaystyle 1}
PBW定理 ）。例如，下面是几何代数
G
(
3
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}
{
1
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
1
e
2
,
e
2
e
3
,
e
3
e
1
,
e
1
e
2
e
3
}
{\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}
这样形成的基称作规范基 ，V 的任何其他正交基都会产生另外的规范基。每个规范基都有
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
{
B
i
∣
i
∈
S
}
{\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}
S 是索引集，则任意两多重向量的几何积是
(
∑
i
α
i
B
i
)
(
∑
j
β
j
B
j
)
=
∑
i
,
j
α
i
β
j
B
i
B
j
.
{\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}
在描述只含1次元素的多重向量时，常用“
k
{\displaystyle k}
k 个向量的外积）。举例来说，
G
(
4
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}
e
1
∧
e
2
+
e
3
∧
e
4
{\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}
0
,
1
,
(
n
−
1
)
,
n
{\displaystyle 0,1,(n-1),n}
n -空间中还是刃。
时间顺序排列 Grassmann, Hermann , Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert , Leipzig: O. Wigand, 1844 [2023-12-31 ] , OCLC 20521674 存档 于2023-10-09）Clifford, Professor. Applications of Grassmann's Extensive Algebra. American Journal of Mathematics. 1878, 1 (4): 350–358. JSTOR 2369379 doi:10.2307/2369379 Artin, Emil , Geometric algebra, Wiley Classics Library, Wiley, 1988 [1957], ISBN 978-0-471-60839-4MR 1009557 doi:10.1002/9781118164518 Hestenes, David , Space–time Algebra, Gordon and Breach, 1966, ISBN 978-0-677-01390-9OCLC 996371 Wheeler, J. A.; Misner, C.; Thorne, K. S., Gravitation , W.H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0 Bourbaki, Nicolas , Ch. 9 "Algèbres de Clifford" , Eléments de Mathématique. 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R
3
,
3
{\displaystyle \mathbf {R} ^{3,3}}
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English translations of early books and papers
研究组
事实速览 线性代数, 向量 ...
线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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关于一般代数结构，请见「克利福德代数」。
提示：此条目页的主题不是代数几何。
![{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b517d6e61b33a4c3398535f4aaface77a1da887e)
![{\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5207597ca24e5f3fc11785e33dd676e5565e164f)
![{\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c169d06e467c5c7959e7da65c5b01b1bb89a4d05)
![{\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb80eb1d95f0720fd0d25abff339a0aed390074e)
![{\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4620f4330bb5f5260c8978c2b7340df0c54f3725)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426956a7cc82e46726be135237774216bddee9f2)
