非结合代数

非结合代数^{[1]:Chapter 1}（或分配代数，distributive algebra）是域上的代数，其中乘法不必遵循结合律。即，有代数结构A、域K，若A是K上配备K-双线性乘法${\displaystyle A\times A\to A}$（不必符合结合律）的向量空间，则称其为K上的非结合代数。例如李代数、约尔丹代数、八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合，须用括号表示乘法的顺序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含义是不一样的。

这里的“非结合”是说不必结合，而非必不结合，就像非交换环的“非交换”是说“不必交换”。

若代数有单位元e，使得${\displaystyle \forall x,\ ex=x=xe}$，则称代数是含幺的或酉的。例如，八元数是含幺的，而李代数绝不含幺。

A的非结合代数结构可与A的K-自同态的全代数的子代数（是结合代数）相关联，作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数与（结合）包络代数，后者有“包含A的最小结合代数”的意味。

更一般地，有人提出交换环R上非结合代数的概念：具备R-双线性乘法的R-模。^[1]:1若一结构服从除结合律外所有环的公理（如R代数），则就自然是${\displaystyle \mathbb {Z} }$-代数，所以有人称非结合${\displaystyle \mathbb {Z} }$-代数为非结合环。

满足恒等式的代数

具有两种二元运算、无其他限制的类环结构分很多种类，难以一同研究。所以，最为人所知的非结合代数要满足一些恒等式（即性质），这样稍微简化了乘法。一般来说有如下这些。

一般性质

令x, y, z表示域K上代数A的任意元素。 正整数次幂可以递归地定义为${\displaystyle x^{1}:=x;\ x^{n+1}:=x^{n}x}$^[2]:553（右幂）或${\displaystyle x^{n+1}:=xx^{n}}$^{[1]:30[1]:128}（左幂）。

• 含幺：存在元素e使得${\displaystyle ex=x=xe}$；这时可以定义${\displaystyle x^{0}:=e.}$
• 结合性：${\displaystyle (xy)z=x(yz).}$
• 交换性：${\displaystyle xy=yx.}$
• 反交换性：^[1]:3${\displaystyle xy=-yx.}$
• 雅可比恒等式：^[1]:3[3]:12${\displaystyle (xy)z+(yz)x+(zx)y=0;\ x(yx)+y(zx)+z(xy)=0.}$
• 约尔丹恒等式：^[1]:91[3]:13${\displaystyle (x^{2}y)x=x^{2}(yx);\ (xy)x^{2}=x(yx^{2}).}$
• 交替性：^{[1]:5[3]:18[4]:153}${\displaystyle (xx)y=x(xy)}$（左交替）；${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$（右交替）。
• 柔性：^[1]:28[3]:16${\displaystyle (xy)x=x(yx)}$。
• n次幂结合性（n ≥ 2）：${\displaystyle \forall k,\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{n}}$，其中k是整数。
  • 三次幂结合性：${\displaystyle x^{2}x=xx^{2}.}$
  • 四次幂结合性：${\displaystyle x^{3}x=x^{2}x^{2}=xx^{3}}$（比较下面的“四次幂交换性”）。
• 幂结合性：^{[1]:30[1]:128[3]:17[5]:451[2]:553}任意元素生成的子代数结合，即对n ≥ 2，有n次幂结合。
• n次幂交换性，其中n ≥ 2：${\displaystyle \forall k\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{k}x^{n-k}}$，其中k是整数。
  • 三次幂交换性：${\displaystyle x^{2}x=xx^{2}}$。
  • 四次幂交换性：${\displaystyle x^{3}x=xx^{3}}$（比较上面的“四次幂结合性”'）。
• 幂交换性：任意元素生成的子代数交换，即n次幂交换（n ≥ 2）。
• 索引n ≥ 2的幂零：任意n个元素之积，在任意结合次序下为零，但n−1个元素时不总成立：${\displaystyle x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=0,\ \exists n-1}$个元素y使得在某结合次序下${\displaystyle y_{1}y_{2}\ldots y_{n-1}\neq 0.}$
• 索引n ≥ 2的零：幂结合性、${\displaystyle x^{n}=0}$，存在元素y使得${\displaystyle y^{n-1}\neq 0.}$

性质之间的关系

对特征任意的K：

• 结合性推出交替性。
• 左交替、右交替、柔性知二推三。
  • 因此交替性推出柔性。
• 交替性推出约尔丹恒等式。^[6]:91[a]
• 交换性导出柔性。
• 反交换性导出柔性。
• 交替性导出幂结合性。^[a]
• 柔性导出三次幂结合性。
• 二次幂结合和二次幂交换为真。
• 三次幂结合和三次幂交换等价。
• n次幂结合推出n次幂交换。
• 索引2的零推出反交换性。
• 索引2的零推出约尔丹恒等式。
• 索引3的幂零推出雅可比恒等式。
• 索引n的幂零推出索引N的零，其中2 ≤ N ≤ n。
• 含幺与索引n的零不相容。

若${\displaystyle K\neq {\rm {GF}}(2)}$或${\displaystyle {\rm {dim}}(A)\leq 3:}$

• 约尔丹恒等式与交换性共同推出幂结合性。^{[7]:36[1]:92[8]:710}

若${\displaystyle {\rm {char}}(K)\neq 2:}$

• 右交替性推出幂结合性。^{[9]:319[10]:179[11]:343[1]:148}
  • 相似地，左交替性推出幂结合性。
• 含幺与约尔丹恒等式共同推出柔性。^[12]:18
• 约尔丹恒等式与柔性共同推出幂结合性。^{[12]:18–19,fact 6}
• 交换性与反交换性共同推出索引2的幂零。
• 反交换性推出索引2的零。
• 含幺与反交换不相容。

若${\displaystyle {\rm {char}}(K)\neq 3}$：

• 含幺和雅克比恒等式不相容。

若${\displaystyle {\rm {char}}(K)\notin \{2,3,5\}:}$

• 交换性与${\displaystyle x^{4}=x^{2}x^{2}}$（定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。^{[2]:554,lemma 4}

若${\displaystyle {\rm {char}}(K)=0:}$

• 三次幂结合性与${\displaystyle x^{4}=x^{2}x^{2}}$（定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。^{[2]:554,lemma 3}

若${\displaystyle {\rm {char}}(K)=2:}$

• 交换性与反交换性等价。

结合子

主条目：结合子

A上的结合子是K-线性映射${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A}$：

${\displaystyle [x,\ y,\ z]=(xy)z-x(yx)}$

它度量了A非结合的程度，可以很方便地表示一些A满足的式子。

令x, y, z表示域代数的任意元素。

• 结合律：${\displaystyle [x,\ y,\ z]=0.}$
• 交替性：${\displaystyle [x,\ x,\ y]=0}$（左交替）及${\displaystyle [y,\ x,\ x]=0}$（右交替）。
  • 这意味着交换任意两项都会变号：${\displaystyle [x,\ y,\ z]=-[x,\ z,\ y]=-[z,\ y,\ x]=-[y,\ x,\ z].}$反例仅当${\displaystyle {\rm {char}}(K)\neq 2.}$
• 柔性：${\displaystyle [x,\ y,\ x]=0.}$
  • 可知，交换极值项将变号：${\displaystyle [x,\ y,\ z]=-[z,\ y,\ x].}$反例仅当${\displaystyle {\rm {char}}(K)\neq 2.}$
• 约尔丹恒等式：^[1]:14${\displaystyle [x^{2},\ y,\ x]=0}$或${\displaystyle [x,\ y,\ x^{2}]=0}$，取决于学者。
• 三次幂结合性：${\displaystyle [x,\ x,\ x]=0.}$

核是与其他元素结合的元素的集合，^[4]:56即${\displaystyle n\in A}$，使得

${\displaystyle [n,\ A,\ A]=[A,\ n,\ A]=[A,\ A,\ n]=0.}$

核是A的结合子环。

中心

A的中心是与A中所有元素都交换、结合的元素的集合，即

${\displaystyle C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}}$

与核之交。对C(A)中的元素，${\displaystyle ([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])}$中两个集合若是${\displaystyle \{0\}}$，则第三个集合也是零集。

例子

• 欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$，乘法由叉积给出。这是反交换、非结合代数的例子。叉积还满足雅可比恒等式。
• 李代数是满足反交换与雅可比恒等式的代数。
• 微分流形上的向量场代数（若K是R或C）或代数簇（对一般的K）；
• 约尔丹代数是满足交换律与约尔丹恒等式的代数。^[3]:13
• 结合代数都可通过以交换子为李括号，给出李代数。实际上，李代数要么可以这样构造，要么是这样构造的李代数的子代数。
• 定义新的乘法${\displaystyle x^{*}y=(xy+yx)/2}$，则特征不是2的域上的结合代数给出约尔丹代数。与李代数不同，只有一部分约尔丹代数能这样构造，称作特殊约尔丹代数。
• 交替代数是满足交替性的代数。最重要的例子是八元数（实数上的代数），以及八元数在其他域上的推广。结合代数都交替。在同构意义上，仅有的有限维实交替除代数（下详）是实数、复数、四元数和八元数。
• 幂结合代数，是满足幂结合恒等式的代数。例如所有结合代数、所有交替代数、GF(2)以外任意域上的约尔丹代数（上详）与十六元数。
• R上的双曲四元数代数，是为解释狭义相对论而引入闵可夫斯基时空前的实验性代数。

更多种类代数：

• 分次代数，包括大部分对多重线性代数具有重大意义的代数，如张量代数、对称代数、给定向量空间上的外代数等等。分次代数可推广到滤子代数。
• 除代数，其中存在乘法逆元。实数域上有限维交替除代数的分类已完成。有实数（1维）、复数（2维）、四元数（4维）、八元数（8维）。四元数和八元数不交换；八元数不结合。
• 二次代数要求${\displaystyle xx=re+sx}$，其中r、s属于底域（ground field），e是代数的单位。例子如有限维交替代数、实2阶方阵代数。在同构的意义上，没有零的除子的交替、二次实代数只有实数、复数、四元数和八元数。
• 凯莱–迪克森代数（其中K是R），始于：
  • C（交换结合代数）；
  • 四元数H（结合代数）；
  • 八元数（交替代数）；
  • 十六元数及凯莱-迪克森代数的无限序列（幂结合代数）。
• 超复数代数都是有限维含幺R-代数，于是包含凯莱-迪克森代数等等。
• 泊松代数见于几何量子化。其中有2个乘法，以不同方式将其变为结合代数与李代数。
• 遗传代数是非结合代数，在数学遗传中使用。
• 三元系

参见：代数列表

性质

环论与结合代数中的性质，对非结合代数来说不总成立，例如有（双边）乘法逆元的元素也可能是零除子：十六元数所有非零元都有双边逆，而其中有些是零除子。

自由非结合代数

域K上集合X上的自由非结合代数定义为基包含所有非结合单项式的代数，X的元素的有限形式积写出圆括号，例如单项式u、v之积只是${\displaystyle (u)(v).}$若取空积为单项式，则代数含幺。^[13]:321

Kurosh证明，自由非结合代数的子代数都是自由的。^{[14]:237–262}

结合代数

域K上的代数A若是K-向量空间，可考虑A的K-线性向量空间内自同态的结合代数${\displaystyle {\rm {End_{K}(A)}}}$。可将${\displaystyle {\rm {End_{K}(A)}}}$的两子代数关联到A上的代数结构：微分代数与（结合）包络代数。

微分代数

主条目：微分代数

A上的导子是映射D，具有性质

${\displaystyle D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .}$

A上的导子形成了子空间${\displaystyle {\rm {Der}}_{K}(A)\in {\rm {End_{K}(A)}}}$。两导子的交换子仍是导子，所以李括号给出${\displaystyle {\rm {Der}}_{K}(A)}$，具有李代数结构。^[1]:4

包络代数

代数A的元素a都附有线性映射L、R：^[3]:24

${\displaystyle L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .}$

A的结合包络代数或乘法代数是由左右线性映射生成的结合代数。^{[1]:14[15]:113}A的中心体（centoid）是自同态代数${\displaystyle {\rm {End}}_{K}(A)}$中的包络代数的中心化子。若代数的中心体包含单位元的K-标量乘，则称代数是中心的。^[5]:451

非结合代数满足的部分可能等式可用线性映射方便地表示：^[4]:57

• 交换性：L(a)等于相应的R(a)；
• 结合性：L与任意R交换；
• 柔性：L(a)都与相应的R(a)交换；
• 约尔丹：L(a)与${\displaystyle R(a^{2})}$交换；
• 交替：${\displaystyle L(a)^{2}=L(a^{2})}$，右式亦如此。

二次表示Q定义为^[16]:57

${\displaystyle Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\ }$,

等价地

${\displaystyle Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .}$

泛包络代数条目描述了包络代数的规范构造，及它们的PBW型定理。对于李代数，这样的包络代数具有泛性质，但对其他非结合代数通常不成立。最知名的例子可能是阿尔伯特代数，是一种特殊的约尔丹代数，不能用约尔丹代数的包络代数的规范结构来包络。

脚注

1. Schafer 1995.
2. Albert 1948a.
3. Okubo 2005.
4. McCrimmon 2004.
5. Knus et al. 1998.
6. Rosenfeld 1997.
7. Jacobson 1968.
8. Kokoris 1955.
9. Albert 1948b.
10. Mikheev 1976.
11. Zhevlakov et al. 1982.
12. Bremner, Murakami & Shestakov 2013.
13. Rowen 2008.
14. Kurosh 1947.
15. Albert 2003.
16. Koecher 1999.

注释

1. 由阿廷定理。

参考文献

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