非凸大斜方截半二十面體

在幾何學中，非凸大斜方截半二十面體是一種非凸均勻多面體^[5]，由62個面、120條邊和60個頂點組成^[6]，其索引為U₆₇，對偶多面體為大鳶形六十面體（英语：Great deltoidal hexecontahedron）^[2]，具有二十面體群對稱性（英语：Icosahedral symmetry），^[6][7]可以視為大十二面截半二十面體的刻面（英语：Faceting）多面體。^[8]在施萊夫利符號中，非凸大斜方截半二十面體可以表示為t_0,2{5⁄3,3}或${\displaystyle r^{\prime }{\begin{Bmatrix}3\\{\tfrac {5}{2}}\end{Bmatrix}}}$^[1]:162[2]，在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為，在威佐夫記號中可以表示為3 5⁄3 | 2^[3][4][2]。

此条目的主題是非凸的星形均勻多面體。关于同名的阿基米德立體，請見「大斜方截半二十面体」。

非凸大斜方截半二十面體

類別	均勻星形多面體
對偶多面體	大鳶形六十面體（英语：Great deltoidal hexecontahedron）
識別
名稱	非凸大斜方截半二十面體 great rhombicosidodecahedron uniform great rhombicosidodecahedron nonconvex great rhombicosidodecahedron quasirhombicosidodecahedron
參考索引	U67, C84, W105
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	qrid
數學表示法
施萊夫利符號	t0,2{5⁄3,3} ${\displaystyle r^{\prime }{\begin{Bmatrix}3\\{\tfrac {5}{2}}\end{Bmatrix}}}$[1]:162[2]
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	3 5⁄3 | 2[3][4][2]
性質
面	62
邊	120
頂點	60
歐拉特徵數	F=62, E=120, V=60 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	20個正三角形 30個正方形 12個正五角星
頂點圖	3.4.5/3.4
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
3.4.5/3.4 （頂點圖） 大鳶形六十面體（英语：Great deltoidal hexecontahedron） （對偶多面體）
查 论 编

非凸大斜方截半二十面體與小斜方截半二十面体拓樸同構^[8]，其骨架圖在拓樸學上是等價的^[9]。

這個多面體與凸大斜方截半二十面体同名。

性質

非凸大斜方截半二十面體共有62個面、120條邊和60個頂點。^[6]在其62個面中，有20個正三角形、30個正方形和12個正五角星^{[5]:134[10][11]}，在這些面中，共有12個非凸面和12個自相交面^[4]。若排除互相相交與自相交面，作為一個簡單多面體則其外部面共有980個。^[12]

非凸大斜方截半二十面體的歐拉示性數為：

V-E+F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2

因此這個多面體同胚於球體。^[10]

其60個頂點每個頂點都是2個正方形、一個五角星和一個正三角形的公共頂點，並依照五角星、正方形、三角形、正方形的順序在頂點周圍來列，並形成了一個交叉四邊形，在頂點圖中，這樣的頂角可以用[5/3,4,3,4]或來表示^[8]

二面角

非凸大斜方截半二十面體有兩種二面角，分別為正方形面與三角形面的二面角以及正方形與五角星的二面角。

正方形與三角形的二面角約為69度：^[13]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 1.205932498681\approx 69.094842552^{\circ }}$

正方形與五角星的二面角約為58.28度^[8]或視為反向相接的301.71747度^[13]：

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {10\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)\approx 1.01722196789785\approx 58.282526^{\circ }}$

尺寸

若非凸大斜方截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[14]:1250[2]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {11-4{\sqrt {5}}}}{2}}}$

分類

非凸大斜方截半二十面體的頂點圖為交叉梯形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，因此非凸大斜方截半二十面體是一種自相交擬擬正多面體（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交擬擬正多面體一共有12種^[15]，除了小雙三角十二面截半二十面體外，其餘由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）於1881年發現並描述。^[16]

自相交擬擬正多面體
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面體	大立方截半立方體	非凸大斜方截半立方體	小十二面截半二十面體
大十二面截半二十面體	小雙三角十二面截半二十面體	大雙三角十二面截半二十面體	二十面化截半大十二面體
小二十面化截半二十面體	大二十面化截半二十面體	斜方截半大十二面體	非凸大斜方截半二十面體

相關多面體

非凸大斜方截半二十面體與截角大十二面體以及6（英语：Compound_of_six_pentagonal_prisms）和12複合五角柱（英语：Compound_of_twelve_pentagonal_prisms）共用相同的頂點佈局。同時，其亦與大十二面截半二十面體和大斜方十二面體共用相同的邊佈局。^[8]

非凸大斜方截半二十面體	大十二面截半二十面體	大斜方十二面體
截角大十二面體	六複合五角柱（英语：Compound_of_six_pentagonal_prisms）	十二複合五角柱（英语：Compound_of_twelve_pentagonal_prisms）

參見

• 均勻星形多面體

參考文獻

1. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Uniform Great Rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-09-19）.
4. Vladimir Bulatov. great rhombicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-02-28）.
5. Gorini, C.A. The Facts on File Geometry Handbook. Facts on File science library. Facts On File, Incorporated. 2003 [2022-07-27]. ISBN 9781438109572. （原始内容存档于2022-07-27）.
6. Maeder, Roman. 67: great rhombicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. （原始内容存档于2020-02-17）.
7. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #72. harel.org.il. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-10-22）.
8. Richard Klitzing. qrid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-09-21）.
9. B. D. S. “DON” MCCONNELL. Spectral Realizations of Graphs (PDF). daylateanddollarshort.com. [2022-07-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-06）.
10. David A. Richter. Great Dirhombicosidodecahedron. wmich.edu. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-10-18）.
11. Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
12. Robert Webb. Great Rhombicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. （原始内容存档于2022-08-22）.
13. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Uniform Great Rhombicosidodecahedron. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-05-04）.
14. Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002. ISBN 9781420035223.^{[失效連結]}
15. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-07-31]. （原始内容存档于2022-08-22）.
16. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.