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從操作數產生結果的數學過程; 從零個或多個輸入值(稱為操作數)到輸出值的計算。 操作數的數量是操作的元數 来自维基百科,自由的百科全书
在数学中,一个 运算 被定义为一个将一个或更多个输入值(或称 “运算数” 或 “参数”)对应到一个两定义的输出值的函数。这些运算数的个数被称为该运算的元数。
研究中最常见的运算是二元运算(也就是元数为 2 的运算)如加法、乘法,还有一元运算(也就是元数为 1 的运算)如加法逆、乘法逆。而一个操作数为零的运算,或者说一个零元运算,是一个常数,这种运算在计算机科学中比较常见一些。[1][2]混合积是一个三元运算的例子。
通常而言一个运算的输入值是有限的,但有时也应当考虑无穷元运算[1],这时,“通常的”输入值有限的运算就被归类为有限元运算了。
有两类常见的运算,一元和二元运算。其中,一元运算仅涉及一个输入值,比如逻辑非或者三角函数等。[3]而对于以加、减、乘、除以及幂为例的二元运算,则需要两个输入值[4]。
除却数字,运算也允许涉及其他数学对象。比如逻辑真值 “真” 和 “假” 就可以通过 “与”、“或”、“非” 这些逻辑运算符连接并参与运算,其中 “与” 和 “或” 为二元运算,而“非”为一元运算;向量可以进行加减;[5] 转动可以通过函数复合进行运算,运算结果是先进行前一个旋转,接着进行后一个旋转的复合旋转。集合上的运算包括二元的交、并运算[6][7][8];函数之间的运算有函数复合、卷积等[9][10]。
作为一个函数,运算并不总对其域上的所有元定义良好。例如实数上对零做除法[11]或者对负数开平方根就是不被允许的。所有能被运算的值构成一集合,记为该运算的定义域。对于整个定义域上的值,包含该运算作为函数导出的所有值的集合称作该运算的上域,而所有导出值本身构成的集合,称运算的像或者值域[12]。例如前文所述的实数平方根,其定义域即 ,值域也是 ,上域则是任意一个含有值域的集,此处可以为 ;而实数的除法运算,定义域为 ,值域为 。
此外,多元的运算可以涉及并不相似的元素:向量能够与标量进行数乘运算并得到另一个向量[13];两个向量可以进行内积运算并最后得到一个标量[14][15]。一个运算有时也会被赋予一些额外属性如结合律、交换律、反交换律、幂等等。
这些参与运算的值被称作 “参数” 或 “输入”,而得到的值被称作 “值”、“结果” 或 “输出”。运算的元数可以是从 2 到 之间的任何整值[1]。
算符 与运算近似,指的是运算所使用的符号和过程,因而二者并不完全等同。“加法运算”常侧重于输入和输出两端,而“加法算符”(粗略而言,“加号”)则更聚焦于过程,以一种更形式化的说法,即映射 。
一个从 到 的 元运算 被认定为映射
其中,集合 称作运算的域,称作运算的上域,非负整数 称作运算的元数。特别地,零元运算仅是上域 上的一个单一元素。值得指出,元运算完全允许视作 元关系,该关系对运算的域为全域的,对运算的上域则是唯一的。
一个从 到 的 元部分运算,其上域为 的任意子集。
以上叙述常称作 有限关系,参数有限。显然存在扩张,将元数认定为一个无穷序数或者无穷基数,甚至是以任意集作为参数的指标集。
通常情况下,使用”运算“这个词暗含了域是上域的幂这个条件(即上域和自身的一个或更多副本的笛卡儿积)[16],这一性质并不绝对,就像内积运算,并不符合该描述:将两个向量点乘,结果是一个标量。一个 元运算 被称作内部运算;一个 元运算 ,其中,被称作由标量集或者算子集 构造的 外部运算。特别地,二元运算 称作由 决定的 左外部运算,相应地 称作由 决定的 右外部运算。
一个 元多值函数 或者 多值运算 是一个从其笛卡儿积到其幂集的形如 的映射[17]。
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