正合函子

在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。

阿貝爾範疇間的正合函子

設 ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'}$ 為阿貝爾範疇，${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}$ 為加法函子。若對每個正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow X_{i}\longrightarrow X_{i-1}\longrightarrow \cdots }$

取 ${\displaystyle F}$ 後得到的序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow F(X_{i})\longrightarrow F(X_{i-1})\longrightarrow \cdots }$

仍為正合序列，則稱 ${\displaystyle F}$ 為正合函子。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列 ${\displaystyle 0\to X'\to X\to X''\to 0}$，其像截去尾端零對象後 ${\displaystyle 0\to F(X')\to F(X)\to F(X'')}$ 為正合序列，則稱 ${\displaystyle F}$ 是左正合函子；類似地，若 ${\displaystyle F(X')\to F(X)\to F(X'')\to 0}$ 為正合序列，則稱 ${\displaystyle F}$ 是右正合函子。正合性等價於左正合性＋右正合性。

一般範疇中的正合函子

考慮一個函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}'}$。

• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$裡存在任意的有限射影極限，且${\displaystyle F}$與有限射影極限交換（即：${\displaystyle F(\varprojlim _{i}X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}\varprojlim _{i}F(X_{i})}$），則稱${\displaystyle F}$為左正合。
• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$裡存在任意的有限歸納極限，且${\displaystyle F}$與有限歸納極限交換（即：${\displaystyle \varinjlim _{i}F(X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}F(\varinjlim _{i}X_{i})}$），則稱${\displaystyle F}$為右正合。
• 若上述條件同時被滿足，則稱${\displaystyle F}$為正合。

在阿貝爾範疇中，由於任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂回歸到正合序列的定義。

例子

• 根據極限的泛性質，${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)}$函子無論對哪個變數都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。
• 設${\displaystyle (F,G)}$是一對伴隨函子。若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$存在任意有限歸納極限，則${\displaystyle F}$右正合；若存在任意有限射影極限，${\displaystyle G}$左正合。此法可建立許多函子的正合性。
• 設 ${\displaystyle X}$ 為拓撲空間，阿貝爾群數學範疇上的整體截面函子 ${\displaystyle X\mapsto F(X)}$ 是左正合函子。
• 設 ${\displaystyle R}$ 為環，${\displaystyle T}$ 為右 ${\displaystyle R}$-模，則左 ${\displaystyle R}$-模範疇上的張量積函子 ${\displaystyle T\otimes _{R}-}$ 是右正合函子。
• 設 ${\displaystyle {\mathcal {A}},\;{\mathcal {B}}}$ 為兩個阿貝爾範疇，考慮函子範疇 ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}}$，固定一對象 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$，對 ${\displaystyle A}$ 的「求值」是正合函子。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490