歐拉長方體指邊長和面對角線都是整數的長方體。
這即是求解丟番圖方程:
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=d^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d02df2ad1e4427f5ce19032c671a31431a7df4)
![{\displaystyle b^{2}+c^{2}=e^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336e48356c63e463a3a6897f66020f9b2f9cd37f)
![{\displaystyle c^{2}+a^{2}=f^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1081527e525592465761f5c4f4c4d6450603855d)
最小的歐拉長方體的邊長為240, 117, 44,面對角線為267, 125, 244,是Paul Halcke在1719年發現的。
- 邊長 63000 以內的 (a,b,c) 滿足 a<b<c, gcd(a,b,c)=1
- 第一組:(44,117,240) -- (125,267,244)
- 第二組:(85, 132, 720) — (157, 725, 732);
- 第三組:(140, 480, 693) — (500, 707, 843);
- 第四組:(160, 231, 792) — (281, 808, 825);
- 第五組:(187, 1020, 1584) — (1037, 1595, 1884);
- 第六組:(195, 748, 6336) — (773, 6339, 6380);
- 第七組:(240, 252, 275) — (348, 365, 373);
- 第八組:(429, 880, 2340) — (979, 2379, 2500);
- 第九組:(495, 4888, 8160) — (4913, 8175, 9512);
- 第十組:(528, 5796, 6325) — (5820, 6347, 8579) ;
- 第十一組: (780, 2475, 2992) — (2595, 3092, 3883) ;
- 第十二組:(828, 2035, 3120)-- (2197, 3228, 3725)
- 第十三組:(1008, 1100, 1155)-- (1492, 1595, 1533)
- 第十四組:(10296, 11753, 16800)--(15625, 19704, 20503)
- 第十五組:(15939, 18460, 48720)--(24389, 51261, 52100)
- 第十六組:(27755, 42372, 62160)--(50653, 68075, 75228)
- 第十七組:(42471, 54280, 59040)--(68921, 72729, 80200)
- 其中第十四組:(10296,11753,16800) —(15625,19704,20503)
- 之體對角線長為22942.9864...最接近正整數
完美長方體,又稱「完美盒」,是體對角線也是整數的歐拉長方體。求完美長方體的邊長,即在上面三條丟番圖方程再加上一條:
。截至2015年5月,還沒有找到任何完美盒。經由電腦搜尋顯示,若存在完美長方體,其中一個邊長需大於3·1012[1][2],且最小邊長需大於1010[3]。現時只找到一些接近完美盒,例如其中一邊是無理數,其他邊和對角線均為整數的例子。
但在2009年發現了數十個完美平行六面體的例子。[4]