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完美長方體,又稱完美盒,指任意两顶点之间的距离(即棱長、面對角線和體對角線)都是整數的長方體。
求完美長方體的棱長,即求下列方程組之正整數解:
注:a、b、c是棱長,d、e、f是面對角線長,g是體對角線長。
它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。
截至2015年5月,還沒有找到任何完美長方體,亦未有人证明完美长方体不存在。經由電腦搜尋顯示,若存在完美長方體,其中一個邊長需大於3·1012[1][2],且最小邊長需大於1010[3]。現時只找到一些接近完美盒,例如其中一邊是無理數,其他邊和對角線均為整數的例子,如: 棱長分別為672、153與104,其面對角線分別為、680與185,體對角線為697。
另外,亦有面、體對角線均為整數,但棱長只有兩個是整數,另一條是無理數的例子。如:
棱長為18720、與7800這個例子。
一個完美平行六面體為邊長、面對角線長及體對角線長皆為整數的平行六面體。平行六面體的角度不需要是整數,故完美長方體可視為完美平行六面體的特例。在2009年發現了數十個完美平行六面體的例子。[4]
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